题目
【例 1】 求函数 =shx=dfrac ({e)^x-(e)^-x}(2) 的反函数.
题目解答
答案
本题考查了反函数的求，题的关键是掌握反函数的定义以及求方法，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
直接利用反函数的定义，求即可.
由 $y=\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}$ 得 $e^{x}-e^{-x}=2y$ ，
即 $(e^{x})^{2}-2ye^{x}-1=0$ ，
得 $e^{x}=y\pm \sqrt {y^{2}+1}$ ，
因为 $e^{x}\gt 0$ ，所以 $e^{x}=y+\sqrt {y^{2}+1}$ ，
于是 $x=ln(y+\sqrt {y^{2}+1})$ ，
故反函数为 $y=ln(x+\sqrt {x^{2}+1})$.
直接利用反函数的定义，求即可.
由 $y=\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}$ 得 $e^{x}-e^{-x}=2y$ ，
即 $(e^{x})^{2}-2ye^{x}-1=0$ ，
得 $e^{x}=y\pm \sqrt {y^{2}+1}$ ，
因为 $e^{x}\gt 0$ ，所以 $e^{x}=y+\sqrt {y^{2}+1}$ ，
于是 $x=ln(y+\sqrt {y^{2}+1})$ ，
故反函数为 $y=ln(x+\sqrt {x^{2}+1})$.
解析
步骤 1：确定原函数
原函数为 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，这是双曲正弦函数 $shx$ 的定义。
步骤 2：求解 $x$ 关于 $y$ 的表达式
由 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，得 $2y = e^x - e^{-x}$。
步骤 3：将 $e^{-x}$ 表示为 $e^x$ 的函数
将上式两边同时乘以 $e^x$，得 $2ye^x = (e^x)^2 - 1$。
步骤 4：求解 $e^x$
整理得 $(e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0$，这是一个关于 $e^x$ 的一元二次方程。
步骤 5：求解 $x$
解得 $e^x = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$，因为 $e^x > 0$，所以 $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$，从而 $x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$。
原函数为 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，这是双曲正弦函数 $shx$ 的定义。
步骤 2：求解 $x$ 关于 $y$ 的表达式
由 $y = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$，得 $2y = e^x - e^{-x}$。
步骤 3：将 $e^{-x}$ 表示为 $e^x$ 的函数
将上式两边同时乘以 $e^x$，得 $2ye^x = (e^x)^2 - 1$。
步骤 4：求解 $e^x$
整理得 $(e^x)^2 - 2ye^x - 1 = 0$，这是一个关于 $e^x$ 的一元二次方程。
步骤 5：求解 $x$
解得 $e^x = y \pm \sqrt{y^2 + 1}$，因为 $e^x > 0$，所以 $e^x = y + \sqrt{y^2 + 1}$，从而 $x = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})$。