题目
求极限lim _(xarrow infty )dfrac ({x)^2-x}({x)^3-2(x)^2+x}sin x=_____.
求极限
_____.
题目解答
答案
我们知函数
，为有界函数，极限
，有界函数乘以无穷小极限为0，故极限
.
故答案为：0
解析
步骤 1：分析函数$\sin x$的性质
函数$\sin x$是一个有界函数，其值域为$[-1, 1]$，即$|\sin x|\leqslant 1$。
步骤 2：计算极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{3}-2{x}^{2}+x}$
将分子和分母同时除以$x^3$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1-\dfrac {1}{x}}{x-2+\dfrac {1}{x}}$。当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {1}{x}\rightarrow 0$，因此极限为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1-\dfrac {1}{x}}{x-2+\dfrac {1}{x}}=0$。
步骤 3：应用有界函数与无穷小的乘积的极限性质
由于$\sin x$是有界函数，而$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{3}-2{x}^{2}+x}=0$，根据有界函数与无穷小的乘积的极限性质，可知$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{3}-2{x}^{2}+x}\sin x=0$。
函数$\sin x$是一个有界函数，其值域为$[-1, 1]$，即$|\sin x|\leqslant 1$。
步骤 2：计算极限$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{3}-2{x}^{2}+x}$
将分子和分母同时除以$x^3$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1-\dfrac {1}{x}}{x-2+\dfrac {1}{x}}$。当$x\rightarrow \infty$时，$\dfrac {1}{x}\rightarrow 0$，因此极限为$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {1-\dfrac {1}{x}}{x-2+\dfrac {1}{x}}=0$。
步骤 3：应用有界函数与无穷小的乘积的极限性质
由于$\sin x$是有界函数，而$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{3}-2{x}^{2}+x}=0$，根据有界函数与无穷小的乘积的极限性质，可知$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{x}^{2}-x}{{x}^{3}-2{x}^{2}+x}\sin x=0$。