17、设 =((a)_(1),(a)_(2),(a)_(3)), α1,α2,α3为3维列向量 |A|=-4 则行列式-|||-|(a)_(3)+3(a)_(1),(a)_(2),4(a)_(1)|= __

考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是列的线性组合、列交换对行列式符号的影响以及行列式中公因子的提取。

解题核心思路：

1. 拆分行列式：利用行列式列的线性性质，将第一列的组合形式拆分为两个行列式的和。
2. 简化计算：其中一个行列式因列成比例而直接为0，另一个行列式通过列交换和提取公因子转化为已知行列式的形式。
3. 符号处理：注意列交换次数对行列式符号的影响，以及公因子提取时的倍数关系。

破题关键点：

• 拆分第一列：将$\alpha_3 + 3\alpha_1$拆分为$\alpha_3$和$3\alpha_1$分别形成的行列式。
• 判断第二个行列式为0：若两列成比例，则行列式为0。
• 列交换与符号调整：通过列交换将行列式转化为已知形式，并调整符号。

步骤1：拆分行列式
根据行列式列的线性性质，原式可拆分为：
$\begin{aligned}|{\alpha_3 + 3\alpha_1, \alpha_2, 4\alpha_1}| &= |{\alpha_3, \alpha_2, 4\alpha_1}| + |{3\alpha_1, \alpha_2, 4\alpha_1}|.\end{aligned}$

步骤2：分析第二个行列式
第二个行列式中，第一列是$3\alpha_1$，第三列是$4\alpha_1$，两列成比例，因此：
$|{3\alpha_1, \alpha_2, 4\alpha_1}| = 0.$

步骤3：计算第一个行列式
第一个行列式为$|{\alpha_3, \alpha_2, 4\alpha_1}|$，通过列交换和提取公因子化简：

1. 交换第一列和第三列，行列式符号变号：
   $|{\alpha_3, \alpha_2, 4\alpha_1}| = -|{4\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}|.$
2. 提取第三列的公因子4：
   $-|{4\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}| = -4|{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}|.$
3. 代入已知条件$|{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3}| = -4$：
   $-4 \times (-4) = 16.$

步骤4：合并结果
原式最终结果为：
$16 + 0 = 16.$