题目

设周期为1的周期函数 f(x) = x - [x]（[x] 表示不超过 x 的最大整数），(I) 当 n 为正整数，且 n leq x < n+1 时，证明：(n)/(2) leq int_(0)^x f(t) , dt < (n+1)/(2)；(II) 求 lim_(x to +infty) (1)/(x) int_(0)^x f(t) , dt.

设周期为1的周期函数 $f(x) = x - [x]$（$[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数）， (I) 当 $n$ 为正整数，且 $n \leq x < n+1$ 时，证明：$\frac{n}{2} \leq \int_{0}^{x} f(t) \, dt < \frac{n+1}{2}$； (II) 求 $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \, dt$.

题目解答

答案

我们来逐步分析并解决这个题目。 --- ## 题目解析 函数 $ f(x) = x - [x] $ 是一个周期为1的周期函数，表示的是实数 $x$ 的**小数部分**，即： $$ f(x) = x - \lfloor x \rfloor $$ 这个函数在区间 $[n, n+1)$ 上是线性的，即： $$ f(x) = x - n, \quad \text{当 } x \in [n, n+1) $$ --- ## (I) 证明：当 $ n \leq x < n+1 $ 时，有 $$ \frac{n}{2} \leq \int_0^x f(t)\,dt < \frac{n+1}{2} $$ --- ### 第一步：理解积分 我们考虑积分： $$ \int_0^x f(t)\,dt $$ 由于 $ f(t) $ 是周期为1的函数，我们可以把积分拆分为整数部分和小数部分。 设 $ x = n + r $，其中 $ n $ 是整数，$ 0 \le r < 1 $，即 $ x \in [n, n+1) $。 那么： $$ \int_0^x f(t)\,dt = \int_0^n f(t)\,dt + \int_n^{n+r} f(t)\,dt $$ --- ### 第二步：计算积分 #### 1. 计算 $\int_0^n f(t)\,dt$ 由于 $ f(t) $ 是周期为1的函数，我们有： $$ \int_0^n f(t)\,dt = n \cdot \int_0^1 f(t)\,dt $$ 在区间 $[0,1)$ 上，$ f(t) = t $，所以： $$ \int_0^1 f(t)\,dt = \int_0^1 t\,dt = \frac{1}{2} $$ 因此： $$ \int_0^n f(t)\,dt = n \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2} $$ #### 2. 计算 $\int_n^{n+r} f(t)\,dt$ 在区间 $[n, n+r]$ 上，$ f(t) = t - n $，所以： $$ \int_n^{n+r} f(t)\,dt = \int_n^{n+r} (t - n)\,dt = \int_0^r t\,dt = \frac{r^2}{2} $$ --- ### 第三步：总和 所以： $$ \int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{2} + \frac{r^2}{2} $$ 因为 $ 0 \le r < 1 $，所以 $ 0 \le r^2 < 1 $，因此： $$ \frac{n}{2} \le \int_0^x f(t)\,dt < \frac{n+1}{2} $$ 这就完成了第一部分的证明。 --- ## (II) 求极限： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt $$ --- ### 第一步：使用周期性 由于 $ f(t) $ 是周期为1的函数，我们考虑积分： $$ \int_0^x f(t)\,dt $$ 设 $ x = n + r $，其中 $ n \in \mathbb{N}, 0 \le r < 1 $ 那么： $$ \int_0^x f(t)\,dt = \int_0^n f(t)\,dt + \int_n^{n+r} f(t)\,dt = \frac{n}{2} + \frac{r^2}{2} $$ 因此： $$ \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{n + r} \left( \frac{n}{2} + \frac{r^2}{2} \right) $$ --- ### 第二步：取极限 当 $ x \to +\infty $，即 $ n \to +\infty $，$ r \in [0,1) $ 有界。 我们来分析这个极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + r} \left( \frac{n}{2} + \frac{r^2}{2} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{2(n + r)} + \frac{r^2}{2(n + r)} \right) $$ 分别计算两个部分： 1. $ \frac{n}{2(n + r)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{r}{n}} \to \frac{1}{2} $ 2. $ \frac{r^2}{2(n + r)} \to 0 $ 所以极限为： $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{1}{2} $$ --- ## ✅ 最终答案： **(I)** 已证明： $$ \frac{n}{2} \leq \int_0^x f(t)\,dt < \frac{n+1}{2} $$ **(II)** 极限为： $$ \boxed{\frac{1}{2}} $$

解析

考查要点：本题主要考查周期函数的积分性质及极限的计算。
解题思路：

  1. 函数分析：函数$f(x)=x−[x]$是周期为1的周期函数，表示$x$的小数部分，在每个区间$[n, n+1)$上为线性函数$f(x)=x−n$。
  2. 积分拆分：利用周期性将积分拆分为整数部分和小数部分的和，结合定积分计算。
  3. 极限分析：通过积分表达式分析$x$趋近于无穷大时的渐进行为，应用极限运算法则。

(I) 证明不等式

步骤1：拆分积分区间

设$x = n + r$，其中$n$为整数，$0 \leq r < 1$，则积分可拆分为：
$\int_0^x f(t)\,dt = \int_0^n f(t)\,dt + \int_n^{n+r} f(t)\,dt$

步骤2：计算整数部分积分

在区间$[k, k+1)$上，$f(t)=t−k$，积分值为$\frac{1}{2}$。因此：
$\int_0^n f(t)\,dt = n \cdot \int_0^1 t\,dt = \frac{n}{2}$

步骤3：计算小数部分积分

在区间$[n, n+r)$上，$f(t)=t−n$，积分值为：
$\int_n^{n+r} (t−n)\,dt = \int_0^r t\,dt = \frac{r^2}{2}$

步骤4：综合结果

总积分为：
$\int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{2} + \frac{r^2}{2}$
由于$0 \leq r < 1$，故$0 \leq \frac{r^2}{2} < \frac{1}{2}$，因此：
$\frac{n}{2} \leq \int_0^x f(t)\,dt < \frac{n+1}{2}$

(II) 求极限

步骤1：积分表达式

设$x = n + r$，则：
$\int_0^x f(t)\,dt = \frac{n}{2} + \frac{r^2}{2}$

步骤2：构造极限表达式

$\frac{1}{x} \int_0^x f(t)\,dt = \frac{\frac{n}{2} + \frac{r^2}{2}}{n + r}$

步骤3：取极限

当$n \to +\infty$时，$r \in [0,1)$有界，故：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n}{2} + \frac{r^2}{2}}{n + r} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{2(n + r)} + \frac{r^2}{2(n + r)} \right) = \frac{1}{2}$