题目
9. (x)=x+cos x 在定义域内单调
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)=x+\cos x$ 的导数。根据导数的定义和基本导数公式，我们有：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\cos x) = 1 - \sin x$$
步骤 2：分析导数的符号
接下来，我们需要分析导数 $f'(x) = 1 - \sin x$ 的符号。由于 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，因此 $1 - \sin x$ 的取值范围是 $[0, 2]$。这意味着 $f'(x)$ 总是非负的，即 $f'(x) \geq 0$ 对于所有的 $x$ 都成立。
步骤 3：判断单调性
由于 $f'(x) \geq 0$ 对于所有的 $x$ 都成立，这意味着函数 $f(x)$ 在其定义域内是单调递增的。这是因为导数的符号决定了函数的增减性：当导数非负时，函数是单调递增的。
首先，我们需要求出函数 $f(x)=x+\cos x$ 的导数。根据导数的定义和基本导数公式，我们有：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\cos x) = 1 - \sin x$$
步骤 2：分析导数的符号
接下来，我们需要分析导数 $f'(x) = 1 - \sin x$ 的符号。由于 $\sin x$ 的取值范围是 $[-1, 1]$，因此 $1 - \sin x$ 的取值范围是 $[0, 2]$。这意味着 $f'(x)$ 总是非负的，即 $f'(x) \geq 0$ 对于所有的 $x$ 都成立。
步骤 3：判断单调性
由于 $f'(x) \geq 0$ 对于所有的 $x$ 都成立，这意味着函数 $f(x)$ 在其定义域内是单调递增的。这是因为导数的符号决定了函数的增减性：当导数非负时，函数是单调递增的。