题目
在((x)_(0),(y)_(0))的某邻域内,((x)_(0),(y)_(0))存在且连续是函数((x)_(0),(y)_(0)) 在点((x)_(0),(y)_(0)) 可微的A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件
在
的某邻域内,
存在且连续是函数
在点 可微的
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件
题目解答
答案
对于多元函数，可微则偏导数必存在，而偏导数存在不一定可微。因此，由概念再分析本题目：
函数 在点 可微可以推出在的某邻域内,存在且连续，而可微可以推出在的某邻域内,存在且连续无法推出函数 在点 可微。因此，在的某邻域内,存在且连续是函数 在点 可微的必要条件，答案选B
解析
步骤 1：理解可微的定义
函数z=f(x,y)在点$({x}_{0},{y}_{0})$可微，意味着在该点处，函数的增量可以表示为线性部分加上一个高阶无穷小量，即：
$$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$
其中，$A$和$B$分别是函数在点$({x}_{0},{y}_{0})$处对$x$和$y$的偏导数，$o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$表示比$\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$高阶的无穷小量。
步骤 2：分析偏导数存在且连续的条件
在$({x}_{0},{y}_{0})$的某邻域内，$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$存在且连续，意味着函数在该邻域内对$x$和$y$的偏导数存在且连续。这保证了函数在该邻域内具有良好的局部线性近似性质。
步骤 3：判断条件的充分性和必要性
- 可微性可以推出偏导数存在且连续，因为可微性要求函数在点$({x}_{0},{y}_{0})$处具有良好的局部线性近似性质，这自然要求偏导数存在且连续。
- 然而，偏导数存在且连续并不能保证函数在点$({x}_{0},{y}_{0})$处可微，因为可微性还要求函数的增量可以表示为线性部分加上一个高阶无穷小量，而偏导数存在且连续并不能保证这一点。
函数z=f(x,y)在点$({x}_{0},{y}_{0})$可微，意味着在该点处，函数的增量可以表示为线性部分加上一个高阶无穷小量，即：
$$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = A\Delta x + B\Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$$
其中，$A$和$B$分别是函数在点$({x}_{0},{y}_{0})$处对$x$和$y$的偏导数，$o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$表示比$\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}$高阶的无穷小量。
步骤 2：分析偏导数存在且连续的条件
在$({x}_{0},{y}_{0})$的某邻域内，$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$存在且连续，意味着函数在该邻域内对$x$和$y$的偏导数存在且连续。这保证了函数在该邻域内具有良好的局部线性近似性质。
步骤 3：判断条件的充分性和必要性
- 可微性可以推出偏导数存在且连续，因为可微性要求函数在点$({x}_{0},{y}_{0})$处具有良好的局部线性近似性质，这自然要求偏导数存在且连续。
- 然而，偏导数存在且连续并不能保证函数在点$({x}_{0},{y}_{0})$处可微，因为可微性还要求函数的增量可以表示为线性部分加上一个高阶无穷小量，而偏导数存在且连续并不能保证这一点。