题目
L 是曲线 y = x^2 上点 (0,0) 与点 (1,1) 之间的一段弧，则 int_(L) sqrt(y) , ds =A. int_(0)^1 sqrt(1 + (2x)^2) , dxB. int_(0)^1 2x sqrt(1 + x^2) , dxC. int_(0)^1 x sqrt(1 + (2x)^2) , dxD. int_(0)^1 sqrt(1 + x^2) , dx
$L$ 是曲线 $y = x^2$ 上点 $(0,0)$ 与点 $(1,1)$ 之间的一段弧，则 $\int_{L} \sqrt{y} \, ds =$
A. $\int_{0}^{1} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx$
B. $\int_{0}^{1} 2x \sqrt{1 + x^2} \, dx$
C. $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx$
D. $\int_{0}^{1} \sqrt{1 + x^2} \, dx$
题目解答
答案
C. $\int_{0}^{1} x \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx$
解析
步骤 1：确定积分的函数和变量
题目要求计算曲线 $y = x^2$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧 $L$ 上的积分 $\int_{L} \sqrt{y} \, ds$。这里，$f(x, y) = \sqrt{y}$，$y = x^2$，$ds$ 是弧长微分。
步骤 2：应用弧长积分公式
根据弧长积分公式，我们有：\[ \int_{L} f(x, y) \, ds = \int_{a}^{b} f(x, y(x)) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 其中，$f(x, y) = \sqrt{y}$，$y = x^2$，$dy/dx = 2x$，积分区间从 $x = 0$ 到 $x = 1$。
步骤 3：代入并简化
将 $f(x, y) = \sqrt{y}$，$y = x^2$，$dy/dx = 2x$ 代入弧长积分公式，我们得到：\[ \int_{L} \sqrt{y} \, ds = \int_{0}^{1} \sqrt{x^2} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx \] 由于在区间 $[0, 1]$ 上 $x \geq 0$，所以 $\sqrt{x^2} = x$。因此，积分简化为：\[ \int_{L} \sqrt{y} \, ds = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx \]
题目要求计算曲线 $y = x^2$ 上从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的一段弧 $L$ 上的积分 $\int_{L} \sqrt{y} \, ds$。这里，$f(x, y) = \sqrt{y}$，$y = x^2$，$ds$ 是弧长微分。
步骤 2：应用弧长积分公式
根据弧长积分公式，我们有：\[ \int_{L} f(x, y) \, ds = \int_{a}^{b} f(x, y(x)) \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] 其中，$f(x, y) = \sqrt{y}$，$y = x^2$，$dy/dx = 2x$，积分区间从 $x = 0$ 到 $x = 1$。
步骤 3：代入并简化
将 $f(x, y) = \sqrt{y}$，$y = x^2$，$dy/dx = 2x$ 代入弧长积分公式，我们得到：\[ \int_{L} \sqrt{y} \, ds = \int_{0}^{1} \sqrt{x^2} \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx \] 由于在区间 $[0, 1]$ 上 $x \geq 0$，所以 $\sqrt{x^2} = x$。因此，积分简化为：\[ \int_{L} \sqrt{y} \, ds = \int_{0}^{1} x \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx \]