若过点P（2a，a2）可作3条直线与曲线f（x）=x3相切，则a的取值范围为（ ）A. （0，8）B. （(1)/(8)，+∞）C. （-∞，0）∪（0，(1)/(8)）D. （-∞，0）∪（8，+∞）

考查要点：本题主要考查利用导数求切线方程，以及三次方程根的分布问题。关键在于将几何条件转化为代数方程，分析方程解的个数。

解题思路：

1. 设定切点：设切点为$(t, t^3)$，利用导数求出切线斜率$3t^2$。
2. 建立方程：根据点$P(2a, a^2)$在切线上，建立斜率相等的方程，整理得到三次方程$2t^3 - 6at^2 + a^2 = 0$。
3. 分析根的个数：三次方程有3个不同实根的条件是其导数有两个极值点，且极值点的函数值异号。
4. 求解参数范围：通过计算极值点处的函数值，建立不等式求解$a$的范围。

破题关键：将几何条件转化为三次方程的根的分布问题，利用导数分析函数极值，确定参数范围。

设定切点与方程

设切点为$Q(t, t^3)$，则切线斜率为$f'(t) = 3t^2$。
直线$PQ$的斜率也可表示为$\frac{t^3 - a^2}{t - 2a}$，因此有：
$3t^2 = \frac{t^3 - a^2}{t - 2a}$
整理得三次方程：
$2t^3 - 6at^2 + a^2 = 0$

分析三次方程根的个数

三次方程有3个不同实根的条件是其导数有两个极值点，且极值点的函数值异号。
计算导数：
$g'(t) = 6t^2 - 12at = 6t(t - 2a)$
解得极值点$t = 0$和$t = 2a$。

计算极值点函数值

• 当$t = 0$时，$g(0) = a^2$；
• 当$t = 2a$时，代入原方程得：
  $g(2a) = 2(2a)^3 - 6a(2a)^2 + a^2 = -8a^3 + a^2$

建立不等式

要求$g(0) \cdot g(2a) < 0$，即：
$a^2 \cdot (-8a^3 + a^2) < 0 \implies a^4(1 - 8a) < 0$
由于$a^4 \geq 0$，故$1 - 8a < 0$，解得：
$a > \frac{1}{8}$