设f(x) =x- sin x cos x cos 2x,g(x) =x³,则当x→0时,f(x)是g(x)的 A.高阶无穷小. B.低阶无穷小. C.等价无穷小. D.同阶非等价无穷小.

考查要点：本题主要考查无穷小量的阶数比较，需要掌握泰勒展开或洛必达法则的应用，以及函数在$x \to 0$时的展开技巧。

解题核心思路：

1. 化简函数$f(x)$：将$f(x)$展开到足够高的阶数，以便与$g(x)=x^3$比较主部。
2. 比较阶数：通过泰勒展开或洛必达法则计算$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$，判断极限值是否为非零常数，从而确定同阶或等价关系。

破题关键点：

• 正确展开乘积项：需将$\sin x \cos x \cos 2x$展开到$x^3$项，不可忽略$\cos x$和$\cos 2x$中的高阶项。
• 极限计算：若极限为非零常数，则$f(x)$与$g(x)$同阶；若为1，则等价。

步骤1：展开$f(x)$
将$f(x) = x - \sin x \cos x \cos 2x$展开到$x^3$项：

• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
• $\cos 2x = 1 - 2x^2 + o(x^2)$

乘积展开：
$\begin{aligned}\sin x \cos x \cos 2x &= \left(x - \frac{x^3}{6}\right)\left(1 - \frac{x^2}{2}\right)\left(1 - 2x^2\right) \\&= \left(x - \frac{x^3}{6}\right)\left(1 - \frac{5x^2}{2} + o(x^2)\right) \\&= x - \frac{8x^3}{3} + o(x^3)\end{aligned}$

因此，
$f(x) = x - \left(x - \frac{8x^3}{3}\right) + o(x^3) = \frac{8x^3}{3} + o(x^3)$

步骤2：计算极限$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}$
$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{8x^3}{3} + o(x^3)}{x^3} = \frac{8}{3}$

结论：
极限值$\frac{8}{3}$为非零常数，说明$f(x)$与$g(x)$同阶，但因不等于1，故非等价。