,-|||-2.设随机变量X的概率密度为 f(x)= { ___

题目考察知识

随机变量的数学期望$E(X)$和方差$D(X)$的计算，其中方差$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。

一、计算$E(X)$

解题思路：连续型随机变量的期望公式为$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}x\cdot f(x)\text{d}x$，根据概率密度$f(x)$)的分段，分$[-11,0)$和$[0,1)$两段积分。

计算过程：
$\begin{align*}E(X)&=\int_{-1}^{0}x(1+x)\text{d}x+\int_{0}^{1}x(1-x)\text{d}x\\&=\int_{-1}^{0}(x+x^2)\text{d}x+\int_{0}^{1}(x-x^2)\text{d}x\end{align*}$
分别计算两个积分：

1. $\int_{-1}^{0}(x+x^2)\text{d}x=\left[\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3\right]_{-1}^0=\left(0\right)-\left(\frac{1}{2}(-1)^2+\frac{1}{3}(-1)^3\right)=-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{6}$
2. $\int_{0}^{1}(x-x^2)\text{d}x=\left[\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^1=\left(\frac{12-\frac13\right)-0=\frac{1}{6}$

求和：$E(X)=-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=0$，故第一空填“正确”。

二、计算$D(X)$

解题思路：先算$E(X^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\text{d}x}$，再用$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$（因$E(X)=0$，故$D(X)=E(X^2)$）。

计算$E(X^2)$：
$E(X^2)=\int_{-1}^{0}x^2(1+x)\text{d}x+\int_{0}^{1}x^2(1-x)\text{d}x$

1. $\int_{-1}^{0}(x^2+x^3)\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^0=0-\left(\frac{1}{3}(-1)^3+\frac{1}{4}(-1)^4\right)=-\left(-\frac{frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=\frac{7}{12}$（此处修正：正确计算为$\left[\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{4}x^4\right]_{-1}^0=0-\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})=\frac{1}{12}$）
2. $\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{4}x^4\right]_{0}^1=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)-0=\frac{1}{12}$

求和：$E(X^2)=\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=\frac{frac{1}{6}$，故$D(X)=\frac{1}{6}-0^2=\frac{1}{6}$，第二空填“正确”。