题目
(8)函数 =dfrac ({x)^2}(sqrt {1-{x)^2}} 在区间 [ dfrac (1)(2),dfrac (sqrt {3)}(2)] 上的平均值为_ __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定平均值公式
函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值定义为 $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。因此，我们需要计算 $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。
步骤 2：计算积分
为了计算积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$，我们使用三角代换。设 $x=\sin\theta$，则 $dx=\cos\theta d\theta$，且当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$\theta=\frac{\pi}{6}$；当 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$\theta=\frac{\pi}{3}$。因此，积分变为 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\cos\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sin^2\theta d\theta$。利用 $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$，积分进一步简化为 $\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos2\theta)d\theta$。计算这个积分，我们得到 $\frac{1}{2}[\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}))=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8}$。
步骤 3：计算平均值
将步骤 2 中的积分结果代入平均值公式，我们得到 $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8})=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8})=\frac{2}{\sqrt{3}-1}(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8})=\frac{\sqrt{3}+1}{12}\pi$。
函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的平均值定义为 $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。因此，我们需要计算 $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$。
步骤 2：计算积分
为了计算积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}dx$，我们使用三角代换。设 $x=\sin\theta$，则 $dx=\cos\theta d\theta$，且当 $x=\frac{1}{2}$ 时，$\theta=\frac{\pi}{6}$；当 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时，$\theta=\frac{\pi}{3}$。因此，积分变为 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\frac{\sin^2\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}\cos\theta d\theta=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}\sin^2\theta d\theta$。利用 $\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$，积分进一步简化为 $\frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}(1-\cos2\theta)d\theta$。计算这个积分，我们得到 $\frac{1}{2}[\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}-\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}))=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8}$。
步骤 3：计算平均值
将步骤 2 中的积分结果代入平均值公式，我们得到 $\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}}(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8})=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8})=\frac{2}{\sqrt{3}-1}(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}-1}{8})=\frac{\sqrt{3}+1}{12}\pi$。