设 (x)=tan x , [ g(x)] =(x)^2-2, 且 |g(x)|leqslant dfrac (pi )(4), 则g(x)的定义域为() ()

考查要点：本题主要考查复合函数的定义域求解，涉及反三角函数的性质及不等式的求解。

解题核心思路：

1. 利用反三角函数性质：由$f[g(x)] = \tan(g(x)) = x^2 - 2$，可得$g(x) = \arctan(x^2 - 2)$。
2. 结合值域限制：题目给出$|g(x)| \leq \frac{\pi}{4}$，需将此条件转化为对$x^2 - 2$的限制。
3. 解不等式求定义域：通过$\arctan(y)$的值域与$y$的关系，建立关于$x$的不等式并求解。

破题关键点：

• 明确$\arctan(y)$的值域：$\arctan(y) \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$对应$y \in [-1, 1]$。
• 联立不等式：将$x^2 - 2$限制在$[-1, 1]$，解出$x$的范围。

1. 由复合函数关系求$g(x)$
   已知$f(x) = \tan x$，则$f[g(x)] = \tan(g(x)) = x^2 - 2$，因此：
   $g(x) = \arctan(x^2 - 2)$

2. 应用值域限制条件
   题目要求$|g(x)| \leq \frac{\pi}{4}$，即：
   $-\frac{\pi}{4} \leq \arctan(x^2 - 2) \leq \frac{\pi}{4}$
   根据$\arctan(y)$的单调性，当$\arctan(y) \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$时，对应的$y$满足：
   $-1 \leq x^2 - 2 \leq 1$

3. 解不等式求$x$的范围

   • 下限：$x^2 - 2 \geq -1 \implies x^2 \geq 1 \implies x \leq -1$或$x \geq 1$
   • 上限：$x^2 - 2 \leq 1 \implies x^2 \leq 3 \implies -\sqrt{3} \leq x \leq \sqrt{3}$
   • 联立结果：
     $-\sqrt{3} \leq x \leq -1 \quad \text{或} \quad 1 \leq x \leq \sqrt{3}$