2) =(e)^x+y ;

本题考查隐函数求导法的应用。题目给出方程$xy = e^{x+y}$，要求求出$\dfrac{dy}{dx}$的表达式。解题的核心思路是：

1. 取自然对数将方程转化为线性形式，便于求导；
2. 隐函数求导对两边关于$x$求导，注意使用链式法则；
3. 整理方程，将含$\dfrac{dy}{dx}$的项集中，解出$\dfrac{dy}{dx}$；
4. 化简表达式，最终得到结果。

步骤1：取自然对数

原方程$xy = e^{x+y}$两边取自然对数：
$\ln(xy) = \ln(e^{x+y}) \implies \ln x + \ln y = x + y$

步骤2：对$x$求导

对等式两边关于$x$求导：

• 左边：$\dfrac{d}{dx}(\ln x + \ln y) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx}$；
• 右边：$\dfrac{d}{dx}(x + y) = 1 + \dfrac{dy}{dx}$。

得到方程：
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} = 1 + \dfrac{dy}{dx}$

步骤3：整理方程

将含$\dfrac{dy}{dx}$的项移到左边，常数项移到右边：
$\dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{dy}{dx} - \dfrac{dy}{dx} = 1 - \dfrac{1}{x}$

提取$\dfrac{dy}{dx}$：
$\dfrac{dy}{dx} \left( \dfrac{1}{y} - 1 \right) = 1 - \dfrac{1}{x}$

步骤4：解出$\dfrac{dy}{dx}$

两边同除以$\left( \dfrac{1}{y} - 1 \right)$：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y} - 1}$

步骤5：化简表达式

分子分母分别通分：

• 分子：$1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}$；
• 分母：$\dfrac{1}{y} - 1 = \dfrac{1 - y}{y} = -\dfrac{y-1}{y}$。

代入化简：
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{x-1}{x}}{-\dfrac{y-1}{y}} = -\dfrac{(x-1)y}{x(y-1)} = \dfrac{y(x-1)}{x(y-1)}$