题目
[题目]函数 (x)=(x)^3-3x 在区间 [ -sqrt (3),sqrt (3)] 上满足-|||-罗尔定理的点为?
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算函数的导数
首先，我们需要计算函数 $f(x)={x}^{3}-3x$ 的导数。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}({x}^{3}-3x) = 3{x}^{2}-3$$
步骤 2：验证罗尔定理的条件
罗尔定理的条件是：函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，且 $f(a) = f(b)$。对于函数 $f(x)={x}^{3}-3x$，在区间 $[ -\sqrt {3},\sqrt {3}] $ 上，它显然是连续和可导的。接下来，我们验证 $f(-\sqrt{3})$ 和 $f(\sqrt{3})$ 是否相等：
$$f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^{3}-3(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 0$$
$$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^{3}-3(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}-3\sqrt{3} = 0$$
因此，$f(-\sqrt{3}) = f(\sqrt{3})$，满足罗尔定理的条件。
步骤 3：求解导数等于零的点
根据罗尔定理，存在至少一个点 $c$ 在区间 $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 内，使得 $f'(c) = 0$。我们解方程 $f'(x) = 0$：
$$3{x}^{2}-3 = 0$$
$$3(x^{2}-1) = 0$$
$$x^{2}-1 = 0$$
$$x^{2} = 1$$
$$x = \pm 1$$
因此，$x = 1$ 和 $x = -1$ 都是满足罗尔定理的点。
首先，我们需要计算函数 $f(x)={x}^{3}-3x$ 的导数。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = \frac{d}{dx}({x}^{3}-3x) = 3{x}^{2}-3$$
步骤 2：验证罗尔定理的条件
罗尔定理的条件是：函数在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 上可导，且 $f(a) = f(b)$。对于函数 $f(x)={x}^{3}-3x$，在区间 $[ -\sqrt {3},\sqrt {3}] $ 上，它显然是连续和可导的。接下来，我们验证 $f(-\sqrt{3})$ 和 $f(\sqrt{3})$ 是否相等：
$$f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^{3}-3(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 0$$
$$f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^{3}-3(\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}-3\sqrt{3} = 0$$
因此，$f(-\sqrt{3}) = f(\sqrt{3})$，满足罗尔定理的条件。
步骤 3：求解导数等于零的点
根据罗尔定理，存在至少一个点 $c$ 在区间 $(-\sqrt{3}, \sqrt{3})$ 内，使得 $f'(c) = 0$。我们解方程 $f'(x) = 0$：
$$3{x}^{2}-3 = 0$$
$$3(x^{2}-1) = 0$$
$$x^{2}-1 = 0$$
$$x^{2} = 1$$
$$x = \pm 1$$
因此，$x = 1$ 和 $x = -1$ 都是满足罗尔定理的点。