题目
求解下列不等式：(x-1)((x+3))^2(2+x)(4-x)(x+5)geqslant 0
求解下列不等式：
题目解答
答案
化解原式为
，
x的五个根为-5、-3、-2、1、4；
如图，
解得
或
解析
步骤 1：化简不等式
将不等式$(x-1){(x+3)}^{2}(2+x)(4-x)(x+5)\geqslant 0$化简为$(x-1){(x+3)}^{2}(2+x)(x-4)(x+5)\leqslant 0$，注意这里不等号方向的变化是因为乘以了$(4-x)$，即$-(x-4)$，负号导致不等号方向改变。
步骤 2：确定根
确定不等式$(x-1){(x+3)}^{2}(2+x)(x-4)(x+5)\leqslant 0$的根，即令每个因子等于0，得到$x=1$，$x=-3$（重根），$x=-2$，$x=4$，$x=-5$。
步骤 3：分析根的性质
由于$(x+3)^2$是平方项，所以$x=-3$是重根，这意味着在$x=-3$处，不等式的符号不会改变。其他根$x=1$，$x=-2$，$x=4$，$x=-5$是单根，意味着在这些点处不等式的符号会改变。
步骤 4：确定不等式的解集
根据根的性质和不等式的符号变化，可以确定不等式的解集。由于不等式是小于等于0，我们需要找到不等式取值小于等于0的区间。考虑到$x=-3$是重根，不等式的符号在$x=-3$处不会改变，因此解集包括$x=-3$。其他根处，不等式的符号会改变，因此解集包括$x=1$，$x=-2$，$x=4$，$x=-5$。结合这些信息，解集为$x\geqslant 1$，$-5\leqslant x\leqslant -3$或$x=-2$。
将不等式$(x-1){(x+3)}^{2}(2+x)(4-x)(x+5)\geqslant 0$化简为$(x-1){(x+3)}^{2}(2+x)(x-4)(x+5)\leqslant 0$，注意这里不等号方向的变化是因为乘以了$(4-x)$，即$-(x-4)$，负号导致不等号方向改变。
步骤 2：确定根
确定不等式$(x-1){(x+3)}^{2}(2+x)(x-4)(x+5)\leqslant 0$的根，即令每个因子等于0，得到$x=1$，$x=-3$（重根），$x=-2$，$x=4$，$x=-5$。
步骤 3：分析根的性质
由于$(x+3)^2$是平方项，所以$x=-3$是重根，这意味着在$x=-3$处，不等式的符号不会改变。其他根$x=1$，$x=-2$，$x=4$，$x=-5$是单根，意味着在这些点处不等式的符号会改变。
步骤 4：确定不等式的解集
根据根的性质和不等式的符号变化，可以确定不等式的解集。由于不等式是小于等于0，我们需要找到不等式取值小于等于0的区间。考虑到$x=-3$是重根，不等式的符号在$x=-3$处不会改变，因此解集包括$x=-3$。其他根处，不等式的符号会改变，因此解集包括$x=1$，$x=-2$，$x=4$，$x=-5$。结合这些信息，解集为$x\geqslant 1$，$-5\leqslant x\leqslant -3$或$x=-2$。