题目
球面内切于平面x+2y+2z=4与三个坐标平面所围成四面体，则球面方程为_____.
球面内切于平面
与三个坐标平面所围成四面体，则球面方程为_____.
题目解答
答案
因为是球内切四面体中，所以球心到四面体各个面的距离等于半径
。
我们设球心为
，四面体的四个面分别为
则有
显然，球心各坐标为正，因此可以直接去掉绝对值号，进而有
由
，有
因此
所以所求方程为：
解析
步骤 1：确定球心位置
球面内切于平面x+2y+2z=4与三个坐标平面所围成的四面体，因此球心到四面体各个面的距离等于球的半径。设球心为(x0, y0, z0)，则球心到平面x+2y+2z=4的距离等于球的半径r，即
$$
\frac{|x_0 + 2y_0 + 2z_0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = r
$$
球心到三个坐标平面的距离也等于球的半径r，即
$$
|x_0| = |y_0| = |z_0| = r
$$
步骤 2：求解球心坐标
由于球心各坐标为正，因此可以直接去掉绝对值号，进而有
$$
\frac{x_0 + 2y_0 + 2z_0 - 4}{3} = x_0 = y_0 = z_0 = r
$$
由x0 = y0 = z0，有
$$
\frac{x_0 + 2x_0 + 2x_0 - 4}{3} = x_0
$$
解得x0 = y0 = z0 = 2，即球心坐标为(2, 2, 2)。
步骤 3：求解球面方程
球的半径r = x0 = 2，因此球面方程为
$$
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2^2
$$
球面内切于平面x+2y+2z=4与三个坐标平面所围成的四面体，因此球心到四面体各个面的距离等于球的半径。设球心为(x0, y0, z0)，则球心到平面x+2y+2z=4的距离等于球的半径r，即
$$
\frac{|x_0 + 2y_0 + 2z_0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = r
$$
球心到三个坐标平面的距离也等于球的半径r，即
$$
|x_0| = |y_0| = |z_0| = r
$$
步骤 2：求解球心坐标
由于球心各坐标为正，因此可以直接去掉绝对值号，进而有
$$
\frac{x_0 + 2y_0 + 2z_0 - 4}{3} = x_0 = y_0 = z_0 = r
$$
由x0 = y0 = z0，有
$$
\frac{x_0 + 2x_0 + 2x_0 - 4}{3} = x_0
$$
解得x0 = y0 = z0 = 2，即球心坐标为(2, 2, 2)。
步骤 3：求解球面方程
球的半径r = x0 = 2，因此球面方程为
$$
(x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 2^2
$$