题目

20.口袋中有一个球,不知它的颜色是黑的还是白的.现再往口袋中放入一个白球,然后从口袋中任意取出一个,发现取出的是白球,试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少?

题目解答

口袋中原来那个球是白球的可能性为 $\frac{2}{3}$

根据题目描述，口袋中最开始有一个球，有两种可能情况，即黑球或白球，因此先验概率分别为 P(C=B) = 0.5 和 P(C=W) = 0.5，其中 C表示原来口袋中的球的颜色，B表示黑球，W表示白球。

现在往口袋中放入一个白球，变成了包含一个黑球和两个白球的口袋。现在从口袋中任意取一球，发现取出的是一个白球，需要计算在这个条件下口袋中原来的球是白球的后验概率，即：

$P(C=W|X=W)$

其中 X=W 表示从口袋中取出的球是白球。

根据贝叶斯公式，有：

$P(C=W|X=W) = \frac{P(X=W|C=W) P(C=W)}{P(X=W)}$

需要分别计算分子和分母。

先计算分子，有：

$P(X=W|C=W) P(C=W) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3}$

其中， $P(X=W|C=W) = \frac{2}{3}$ 表示在口袋中原来是白球的情况下，从中取出一个白球的概率（因为现在口袋中一共有两个白球和一个黑球）， $P(C=W) = \frac{1}{2}$ 表示先验概率。

再计算分母，有：

$P(X=W) = P(X=W|C=W) P(C=W) + P(X=W|C=B) P(C=B) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

其中 $P(X=W|C=B)=\frac{1}{3}$ 表示在口袋中原来是黑球的情况下，从中取出一个白球的概率。

因此，代入贝叶斯公式得到：

$P(C=W|X=W) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$

因此，口袋中原来那个球是白球的可能性为 $\frac{2}{3}$

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要根据已知结果反推初始状态的概率。

解题核心思路：

破题关键点：

正确计算条件概率：当原来球为白时，口袋中有两个白球，取白球的概率为$1$；当原来球为黑时，口袋中有一个白球和一个黑球，取白球的概率为$\frac{1}{2}$。
区分分子与分母：分子对应原来球为白且取出白球的联合概率，分母对应所有可能情况下取出白球的总概率。

步骤1：定义事件与先验概率

步骤2：计算条件概率

步骤3：应用贝叶斯定理
后验概率公式为：
$P(C=W|X=W) = \frac{P(X=W|C=W) \cdot P(C=W)}{P(X=W)}$

分子：$P(X=W|C=W) \cdot P(C=W) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$。
分母：$P(X=W) = P(X=W|C=W) \cdot P(C=W) + P(X=W|C=B) \cdot P(C=B) = 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$。
代入公式：
$P(C=W|X=W) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}} = \frac{2}{3}$