设A与B均为 times n 矩阵,满足 =0, 则必有 () .-|||-A |A+B|=|A|+|B|-|||-B AB=BA-|||-C |A|=0 或 |B|=0-|||-D |A|+|B|=0

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的行列式性质及行列式的乘积法则。关键在于利用已知条件$AB=0$推导出行列式的乘积为零，从而得出至少有一个矩阵的行列式为零。

解题核心思路：

1. 行列式性质：$|AB| = |A||B|$。
2. 零矩阵的行列式：若$AB=0$，则$|AB|=0$，即$|A||B|=0$。
3. 逻辑推导：由$|A||B|=0$可得$|A|=0$或$|B|=0$，对应选项C。

破题关键点：

• 明确行列式的乘积性质，将矩阵乘积的行列式转化为两个行列式的乘积。
• 排除其他选项时，需构造反例验证其不成立。

选项分析：

选项A：$|A+B| = |A| + |B|$

• 反例：设$A = I_n$（单位矩阵），$B = -I_n$，则$A+B = 0$，此时$|A+B|=0$，但$|A| + |B| = 1 + 1 = 2 \neq 0$。
• 结论：不成立。

选项B：$AB = BA$

• 反例：设$A = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，则$AB = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，但$BA = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq AB$。
• 结论：不成立。

选项C：$|A|=0$ 或 $|B|=0$

• 推导：由$AB=0$得$|AB|=0$，即$|A||B|=0$，因此至少有一个行列式为零。
• 结论：成立。

选项D：$|A| + |B| = 0$

• 反例：若$|A|=0$且$|B|=1$，则$|A| + |B| = 1 \neq 0$。
• 结论：不成立。