lim _(x arrow infty) x^2(2-x sin (1)/(x)-cos (1)/(x))=____.

我们要求极限：

$\lim_{x \to \infty} x^2 \left(2 - x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right)$

第一步：变量替换

令
$t = \frac{1}{x}$
当 $ x \to \infty $ 时，有 $ t \to 0^+ $。
于是 $ x = \frac{1}{t} $，代入原式：

$x^2 = \frac{1}{t^2},\quad x \sin\frac{1}{x} = \frac{1}{t} \sin t,\quad \cos\frac{1}{x} = \cos t$

原极限变为：

$\lim_{t \to 0^+} \frac{1}{t^2} \left(2 - \frac{1}{t} \sin t - \cos t \right) = \lim_{t \to 0^+} \frac{2 - \frac{\sin t}{t} - \cos t}{t^2}$

第二步：泰勒展开

我们对 $ \sin t $ 和 $ \cos t $ 在 $ t = 0 $ 处进行泰勒展开：

• $ \sin t = t - \frac{t^3}{6} + \frac{t^5}{120} - \cdots $
• $ \cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} - \cdots $

所以：
$\frac{\sin t}{t} = 1 - \frac{t^2}{6} + \frac{t^4}{120} - \cdots$

代入分子：
$2 - \frac{\sin t}{t} - \cos t = 2 - \left(1 - \frac{t^2}{6} + \cdots\right) - \left(1 - \frac{t^2}{2} + \cdots\right)$

计算：
$= 2 - 1 + \frac{t^2}{6} - 1 + \frac{t^2}{2} + \text{高阶项} = (2 - 1 - 1) + \left(\frac{1}{6} + \frac{1}{2}\right)t^2 + o(t^2) = 0 + \left(\frac{1}{6} + \frac{3}{6}\right)t^2 + o(t^2) = \frac{2}{3}t^2 + o(t^2)$

所以整个表达式为：
$\frac{\frac{2}{3}t^2 + o(t^2)}{t^2} = \frac{2}{3} + o(1)$

当 $ t \to 0^+ $ 时，极限为：
$\frac{2}{3}$

最终答案：

$\boxed{\frac{2}{3}}$