题目

1.9 利用复数的三角表示计算下列各式:-|||-(1) (1+i)(1-i) ;-|||-(2) (-2+3i)/(3+2i) ;-|||-(3) ((dfrac {1-sqrt {3)i}(2))}^3 :-|||-(4) sqrt [4](-2+2i).

题目解答

答案

解析

本题考查复数三角形式的运算，包括乘法、除法、幂运算和根运算。解题核心在于：

  1. 将复数转换为三角形式（模长和辐角）；
  2. 应用三角形式的运算规则：
    • 乘法：模相乘，辐角相加；
    • 除法：模相除，辐角相减；
    • 幂运算：模取幂，辐角乘以幂指数；
    • 根运算：模开根，辐角均分后考虑周期性。

第（1）题

关键步骤：

  1. 将 $1+i$ 和 $1-i$ 转换为三角形式：
    • $1+i$：模 $r_1 = \sqrt{2}$，辐角 $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$；
    • $1-i$：模 $r_2 = \sqrt{2}$，辐角 $\theta_2 = -\frac{\pi}{4}$。
  2. 相乘：模相乘 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$，辐角相加 $\frac{\pi}{4} + (-\frac{\pi}{4}) = 0$；
  3. 结果为 $2(\cos 0 + i \sin 0) = 2$。

第（2）题

关键步骤：

  1. 将分子 $-2+3i$ 和分母 $3+2i$ 转换为三角形式：
    • 分子：模 $r_1 = \sqrt{13}$，辐角 $\theta_1 = \pi - \arctan\frac{3}{2}$；
    • 分母：模 $r_2 = \sqrt{13}$，辐角 $\theta_2 = \arctan\frac{2}{3}$。
  2. 相除：模相除 $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 1$，辐角相减 $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$；
  3. 结果为 $\cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} = i$。

第（3）题

关键步骤：

  1. 将 $\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ 转换为三角形式：
    • 模 $r = 1$，辐角 $\theta = -\frac{\pi}{3}$；
  2. 三次幂：模 $1^3 = 1$，辐角 $3 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = -\pi$；
  3. 结果为 $\cos(-\pi) + i \sin(-\pi) = -1$。

第（4）题

关键步骤：

  1. 将 $-2+2i$ 转换为三角形式：
    • 模 $r = 2\sqrt{2}$，辐角 $\theta = \frac{3\pi}{4}$；
  2. 四次根：
    • 模：$(2\sqrt{2})^{1/4} = 8^{1/8}$；
    • 辐角：$\frac{3\pi/4 + 2k\pi}{4} = \frac{3\pi + 8k\pi}{16}$，$k=0,1,2,3$；
  3. 四个根为 $8^{1/8} \left( \cos\frac{3\pi + 8k\pi}{16} + i \sin\frac{3\pi + 8k\pi}{16} \right)$。