题目
求：lim _(xarrow 0)dfrac (4{x)^3-2(x)^2+x}(3{x)^2+2x}-|||-__
求：
题目解答
答案
已知极限。
可以得到：令其分子为
，分母为
，易知，
，且
，故极限满足洛必达法则的条件：
（1）
（2）在点
的某去心邻域内两者都可导，且 
。
故有：
即：
故
，所以答案是
。
解析
步骤 1：确定极限形式
观察给定的极限表达式$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4{x}^{3}-2{x}^{2}+x}{3{x}^{2}+2x}$，当$x\rightarrow 0$时，分子和分母都趋向于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型的不定式，可以考虑使用洛必达法则。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则适用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限，其基本思想是将原极限问题转化为求导后的函数的极限问题。对于给定的极限，我们首先对分子和分母分别求导。
- 分子的导数：$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$
- 分母的导数：$g'(x) = 6x + 2$
步骤 3：计算新的极限
应用洛必达法则，我们有$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4{x}^{3}-2{x}^{2}+x}{3{x}^{2}+2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {12{x}^{2}-4x+1}{6x+2}$。现在，我们计算这个新的极限。
- 当$x\rightarrow 0$时，分子$12x^2 - 4x + 1\rightarrow 1$，分母$6x + 2\rightarrow 2$。
- 因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {12{x}^{2}-4x+1}{6x+2} = \dfrac{1}{2}$。
观察给定的极限表达式$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4{x}^{3}-2{x}^{2}+x}{3{x}^{2}+2x}$，当$x\rightarrow 0$时，分子和分母都趋向于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型的不定式，可以考虑使用洛必达法则。
步骤 2：应用洛必达法则
洛必达法则适用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$型的极限，其基本思想是将原极限问题转化为求导后的函数的极限问题。对于给定的极限，我们首先对分子和分母分别求导。
- 分子的导数：$f'(x) = 12x^2 - 4x + 1$
- 分母的导数：$g'(x) = 6x + 2$
步骤 3：计算新的极限
应用洛必达法则，我们有$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4{x}^{3}-2{x}^{2}+x}{3{x}^{2}+2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {12{x}^{2}-4x+1}{6x+2}$。现在，我们计算这个新的极限。
- 当$x\rightarrow 0$时，分子$12x^2 - 4x + 1\rightarrow 1$，分母$6x + 2\rightarrow 2$。
- 因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {12{x}^{2}-4x+1}{6x+2} = \dfrac{1}{2}$。