题目

4.已知实数x满足 ^2+dfrac (1)({x)^2}-3x-dfrac (3)(x)+2=0, 求 ^3+dfrac (1)({x)^3} 的值.

题目解答

答案

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式变形后，利用完全平方公式化简，利用非负数的性质求出x的值，代入原式计算即可得到结果．

${x}^{2}+\dfrac {1} {{x}^{2}}-3x-\dfrac {3} {x}+2=0$
$\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )^{2}-2-3\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )+2=0$
$\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )^{2}-3\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )=0$
$\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )\left ( {x+\dfrac {1} {x}-3} \right )=0$
$\therefore x+\dfrac {1} {x}=0$或$x+\dfrac {1} {x}-3=0$
$\therefore x+\dfrac {1} {x}=0$或$x+\dfrac {1} {x}=3$
当$x+\dfrac {1} {x}=0$时，${x}^{3}+\dfrac {1} {{x}^{3}}=\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )\left ( {{x}^{2}-1+\dfrac {1} {{x}^{2}}} \right )=0$
当$x+\dfrac {1} {x}=3$时，${x}^{3}+\dfrac {1} {{x}^{3}}=\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )\left ( {{x}^{2}-1+\dfrac {1} {{x}^{2}}} \right )=3\left [ {\left ( {x+\dfrac {1} {x}} \right )^{2}-3} \right ]=3\times \left ( {{3}^{2}-3} \right )=18$
$\therefore {x}^{3}+\dfrac {1} {{x}^{3}}$的值为$0$或$18$

解析

本题考查分式方程的化简与求值，核心思路是通过变量替换将原方程转化为关于$x+\dfrac{1}{x}$的二次方程。关键在于：

  1. 识别结构：观察到$x^2+\dfrac{1}{x^2}$可表示为$(x+\dfrac{1}{x})^2 - 2$；
  2. 分类讨论：解出$x+\dfrac{1}{x}$的可能值后，需验证其是否满足实数条件；
  3. 公式应用：利用立方和公式$x^3+\dfrac{1}{x^3} = (x+\dfrac{1}{x})^3 - 3(x+\dfrac{1}{x})$简化计算。

步骤1：变量替换

设$y = x + \dfrac{1}{x}$，则：
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$
原方程变形为：
$(y^2 - 2) - 3y + 2 = 0 \implies y^2 - 3y = 0$

步骤2：解方程求$y$

因式分解得：
$y(y - 3) = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = 3$

步骤3：验证实数解

  • 当$y = 0$时：$x + \dfrac{1}{x} = 0 \implies x^2 = -1$，无实数解；
  • 当$y = 3$时：$x + \dfrac{1}{x} = 3$，存在实数解。

步骤4：计算$x^3 + \dfrac{1}{x^3}$

利用立方和公式：
$x^3 + \dfrac{1}{x^3} = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$
代入$y = 3$：
$3^3 - 3 \times 3 = 27 - 9 = 18$