(3)[2025，二]设3阶矩阵A，B满足r(AB)=r(BA)+1，则（）A. 方程组(A+B)x=0只有零解B. 方程组Ax=0与方程组Bx=0均只有零解C. 方程组Ax=0与方程组Bx=0没有公共非零解D. 方程组ABAx=0与方程组BABx=0有公共非零解

本题主要考查矩阵的秩、齐次线性方程组解的性质等知识点。解题的关键思路是根据矩阵秩的性质以及齐次线性方程组解的判定定理，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

仅知道$r(AB)=r(BA)+1$，无法直接得出$r(A + B)$的值。因为矩阵加法与矩阵乘法的秩之间没有直接的关联，不能由$r(AB)$和$r(BA)$的关系推出$r(A + B)$，也就无法确定方程组$(A + B)x = 0$是否只有零解，所以选项A错误。

选项B

同样，仅根据$r(AB)=r(BA)+1$，不能确定$r(A)$和$r(B)$的值。对于$n$阶矩阵$M$，齐次线性方程组$Mx = 0$只有零解的充要条件是$r(M)=n$，这里$n = 3$，但无法从已知条件得出$r(A)=3$且$r(B)=3$，所以不能确定方程组$Ax = 0$与方程组$Bx = 0$均只有零解，选项B错误。

选项C

采用反证法。假设方程组$Ax = 0$与方程组$Bx = 0$有公共非零解$\xi$，即$A\xi = 0$且$B\xi = 0$。
那么$AB\xi = A(B\xi)=A0 = 0$，$BA\xi = B(A\xi)=B0 = 0$。
这说明$\xi$是方程组$ABx = 0$和$B Ax = 0$的公共非零解。
根据齐次线性方程组解的性质，若$\xi$是$Mx = 0$的非零解，则$r(M) 又因为$r(AB)=r(BA)+1$，那么$r(AB)$和$r(BA)$都小于$3$，这与$r(AB)=r(BA)+1$矛盾，所以假设不成立，即方程组$Ax = 0$与方程组$Bx = 0$没有公共非零解，选项C正确。

选项D

由$r(AB)=r(BA)+1$，不能直接得出方程组$ABAx = 0$与方程组$BABx = 0$有公共非零解。因为无法从已知条件确定$r(ABA)$和$r(BAB)$的关系，也就不能确定这两个方程组是否有公共非零解，选项D错误。