考点3 函数的有界性 4【中等】(真题) f(x)= lg (1+x) 在 ( ) 内有界. A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(-1,1)

考查要点：本题主要考查函数有界性的判断，需要结合对数函数的定义域和单调性进行分析。

解题核心思路：

1. 确定函数定义域：对数函数$\lg(1+x)$的定义域为$x > -1$。
2. 分析各选项区间内的函数行为：
   • 若区间包含趋向$+\infty$的部分，$\lg(1+x)$会趋向$+\infty$，无界。
   • 若区间左端点接近$-1$，$\lg(1+x)$会趋向$-\infty$，无界。
   • 有限区间且远离定义域边界时，函数值被限制在有限范围内，有界。

破题关键：通过分析对数函数的单调性和区间边界，判断函数值是否被限制。

选项分析

A. $(1, +\infty)$

• 当$x \to +\infty$时，$1+x \to +\infty$，$\lg(1+x) \to +\infty$，无界。

B. $(2, +\infty)$

• 同理，当$x \to +\infty$时，$\lg(1+x) \to +\infty$，无界。

C. $(1, 2)$

• $x \in (1, 2)$时，$1+x \in (2, 3)$。
• $\lg(1+x)$的值域为$(\lg 2, \lg 3)$，即约$(0.3010, 0.4771)$，有界。

D. $(-1, 1)$

• 当$x \to -1^+$时，$1+x \to 0^+$，$\lg(1+x) \to -\infty$，无界。