一阶线性微分方程-dfrac (y)(x)=x(tan )^2x的通解为（ ）A.-dfrac (y)(x)=x(tan )^2xB.-dfrac (y)(x)=x(tan )^2xC.-dfrac (y)(x)=x(tan )^2xD.-dfrac (y)(x)=x(tan )^2x

本题考查一阶线性微分方程的解法，核心思路是应用通解公式。关键在于将原方程整理为标准形式$y' + P(x)y = Q(x)$，确定积分因子后进行积分。破题点在于正确识别方程结构，合理应用分部积分法处理含$\tan^2 x$的积分。

1. 整理方程为标准形式
   原方程$-\dfrac{y}{x} = x\tan^2 x$可变形为：
   $y' + \dfrac{1}{x}y = -x\tan^2 x$

2. 计算积分因子
   积分因子为：
   $\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln x} = x$

3. 方程两边乘以积分因子
   得：
   $x y' + y = -x^2 \tan^2 x$
   左侧可写为$\dfrac{d}{dx}(x y)$，积分得：
   $x y = \int -x^2 \tan^2 x dx + C$

4. 计算积分$\int -x^2 \tan^2 x dx$
   利用$\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，拆分为：
   $\int -x^2 (\sec^2 x - 1) dx = \int -x^2 \sec^2 x dx + \int x^2 dx$

   • 第一部分：$\int -x^2 \sec^2 x dx$
     分部积分得：
     $-x^2 \tan x + \int 2x \tan x dx$
     再次分部积分$\int 2x \tan x dx$，最终化简为$x \tan x - x^2$
   • 第二部分：$\int x^2 dx = \dfrac{1}{3}x^3$
     综合得：
     $\int -x^2 \tan^2 x dx = x \tan x - x^2 + C$

5. 代入通解公式
   $x y = x \tan x - x^2 + C \implies y = Cx + x \tan x - x^2$