6.矩阵A= (} -1& 0& 0 0& 2& 5 0& 1& 3 ) .

考查要点：本题主要考查矩阵求逆的能力，涉及行列式计算、余因子矩阵和伴随矩阵的应用。

解题核心思路：

1. 行列式计算：利用分块矩阵的性质简化行列式的计算。
2. 余因子矩阵：逐个计算每个元素的余因子，注意符号的正确性。
3. 伴随矩阵：将余因子矩阵转置得到伴随矩阵，最终通过公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$ 求解。

破题关键点：

• 分块矩阵行列式：矩阵 $A$ 的结构为分块三角矩阵，行列式可分解为块行列式的乘积。
• 余因子符号：余因子的符号由 $(-1)^{i+j}$ 决定，需特别注意奇偶次方的影响。

步骤1：计算行列式 $|A|$
矩阵 $A$ 的结构为分块三角矩阵，行列式为各块行列式的乘积：
$|A| = (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (2 \cdot 3 - 5 \cdot 1) = -1.$

步骤2：计算余因子矩阵
逐个计算余因子 $A_{ij}$：

• 第一行：
  $A_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = 1$，
  $A_{12} = (-1)^{1+2} \cdot 0 = 0$，
  $A_{13} = (-1)^{1+3} \cdot 0 = 0$。
• 第二行：
  $A_{21} = (-1)^{2+1} \cdot 0 = 0$，
  $A_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = -3$，
  $A_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-1) = 1$。
• 第三行：
  $A_{31} = (-1)^{3+1} \cdot 0 = 0$，
  $A_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-5) = 5$，
  $A_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = -2$。

余因子矩阵为：
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}.$

步骤3：求伴随矩阵 $A^*$
将余因子矩阵转置：
$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 5 \\ 0 & 1 & -2 \end{pmatrix}.$

步骤4：求逆矩阵 $A^{-1}$
根据公式 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$，代入 $|A| = -1$：
$A^{-1} = -A^* = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -5 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.$