5.计算 dfrac (dxdydz)({(1+x+y+z))^3} ,其中Ω为平面 x=0 y=0 z=0 ,x+y+z=1 所围成的四-|||-面体.

步骤 1：确定积分区域
积分区域 $\Omega$ 是由平面 $x=0$，$y=0$，$z=0$ 和 $x+y+z=1$ 围成的四面体。因此，积分区域可以表示为：
$$
\Omega = \{ (x,y,z) | 0 \leq z \leq 1-x-y, 0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq x \leq 1 \}
$$
步骤 2：计算三重积分
根据积分区域，我们可以将三重积分表示为：
$$
\iiint_{\Omega} \frac{dxdydz}{(1+x+y+z)^3} = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{0}^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3} dy dx
$$
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分：
$$
\int_{0}^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3} = \left[ -\frac{1}{2(1+x+y+z)^2} \right]_{0}^{1-x-y} = -\frac{1}{2(1+x+y+1-x-y)^2} + \frac{1}{2(1+x+y)^2}
$$
$$
= -\frac{1}{8} + \frac{1}{2(1+x+y)^2}
$$
步骤 4：计算中层积分
将内层积分的结果代入中层积分：
$$
\int_{0}^{1-x} \left( -\frac{1}{8} + \frac{1}{2(1+x+y)^2} \right) dy = \left[ -\frac{y}{8} - \frac{1}{2(1+x+y)} \right]_{0}^{1-x}
$$
$$
= -\frac{1-x}{8} - \frac{1}{2(1+x+1-x)} + \frac{1}{2(1+x)}
$$
$$
= -\frac{1-x}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2(1+x)}
$$
步骤 5：计算外层积分
将中层积分的结果代入外层积分：
$$
\int_{0}^{1} \left( -\frac{1-x}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2(1+x)} \right) dx = \left[ -\frac{x}{8} + \frac{x^2}{16} - \frac{x}{4} + \frac{1}{2} \ln(1+x) \right]_{0}^{1}
$$
$$
= -\frac{1}{8} + \frac{1}{16} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2
$$
$$
= \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{5}{8}
$$