求曲面 =arctan dfrac (y)(x) 在点 (1,1,dfrac (pi )(4)) 的切平面方程和法线方程.

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算曲面 $z=\arctan \dfrac {y}{x}$ 在点 $(1,1,\dfrac {\pi }{4})$ 处的偏导数 ${z}_{x}$ 和 ${z}_{y}$。根据链式法则，我们有：
${z}_{x} = \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\arctan \dfrac {y}{x}\right) = -\dfrac{y}{x^2 + y^2}$
${z}_{y} = \dfrac{\partial z}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left(\arctan \dfrac {y}{x}\right) = \dfrac{x}{x^2 + y^2}$
步骤 2：计算偏导数值
将点 $(1,1,\dfrac {\pi }{4})$ 的坐标代入偏导数公式中，得到：
${z}_{x}(1,1) = -\dfrac{1}{1^2 + 1^2} = -\dfrac{1}{2}$
${z}_{y}(1,1) = \dfrac{1}{1^2 + 1^2} = \dfrac{1}{2}$
步骤 3：计算切平面方程
根据切平面方程的公式，我们有：
$z - z_0 = {z}_{x}(x_0,y_0)(x - x_0) + {z}_{y}(x_0,y_0)(y - y_0)$
将点 $(1,1,\dfrac {\pi }{4})$ 的坐标和偏导数值代入公式中，得到：
$z - \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{1}{2}(x - 1) + \dfrac{1}{2}(y - 1)$
整理得到切平面方程：
$x - y + 2z = \dfrac{\pi}{2}$
步骤 4：计算法线方程
根据法线方程的公式，我们有：
$\dfrac{x - x_0}{{z}_{x}(x_0,y_0)} = \dfrac{y - y_0}{{z}_{y}(x_0,y_0)} = \dfrac{z - z_0}{-1}$
将点 $(1,1,\dfrac {\pi }{4})$ 的坐标和偏导数值代入公式中，得到：
$\dfrac{x - 1}{-\dfrac{1}{2}} = \dfrac{y - 1}{\dfrac{1}{2}} = \dfrac{z - \dfrac{\pi}{4}}{-1}$
整理得到法线方程：
$2(1 - x) = 2(y - 1) = \dfrac{\pi}{4} - z$