题目

1.若齐次线性方程组AX=0(A为方阵)有非零解，则|A|≠0。 （）2.设C=AB，则R(C)≥min(R(A),R(B))。 （）3.若n阶方阵A可逆，则A^-1也可逆，且(A^-1)^-1=A。 （）4.对称矩阵A正定当且仅当A的特征值全为正。 （）5.任意的实对称矩阵A都与对角矩阵相似。 （）

1.若齐次线性方程组AX=0(A为方阵)有非零解，则|A|≠0。 （） 2.设C=AB，则R(C)≥min(R(A),R(B))。 （） 3.若n阶方阵A可逆，则$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$。 （） 4.对称矩阵A正定当且仅当A的特征值全为正。 （） 5.任意的实对称矩阵A都与对角矩阵相似。 （）

题目解答

答案

让我们逐一分析每个陈述。 1. 若齐次线性方程组 $AX=0$（其中 $A$ 为方阵）有非零解，则 $|A| \neq 0$。 - 这个陈述是错误的。如果齐次线性方程组 $AX=0$ 有非零解，那么矩阵 $A$ 是奇异的，这意味着 $|A| = 0$。因此，正确的是 $|A| = 0$，而不是 $|A| \neq 0$。 2. 设 $C = AB$，则 $R(C) \geq \min(R(A), R(B))$。 - 这个陈述是错误的。矩阵乘积的秩最多等于任一因子矩阵的秩。因此，正确的是 $R(C) \leq \min(R(A), R(B))$，而不是 $R(C) \geq \min(R(A), R(B))$。 3. 若 $n$ 阶方阵 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1})^{-1} = A$。 - 这个陈述是正确的。如果 $A$ 可逆，那么 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1})^{-1} = A$。这是矩阵逆的一个基本性质。 4. 对称矩阵 $A$ 正定当且仅当 $A$ 的特征值全为正。 - 这个陈述是正确的。对称矩阵正定的定义是其所有特征值均为正。 5. 任意的实对称矩阵 $A$ 都与对角矩阵相似。 - 这个陈述是正确的。根据谱定理，每个实对称矩阵都与对角矩阵相似，该对角矩阵的对角线元素是原矩阵的特征值。 因此，答案是： 1. 错误 2. 错误 3. 正确 4. 正确 5. 正确 将答案框起来，我们得到： \[ \boxed{\text{错误，错误，正确，正确，正确}} \]

解析

本题主要考查线性代数中齐次线性方程组解的判定、矩阵秩的性质、可逆矩阵的性质、对称矩阵正定的判定以及实对称矩阵的相似性等知识点。解题思路是依据这些知识点的定义和性质，对每个陈述逐一进行分析判断。

  1. 对于陈述“若齐次线性方程组$AX = 0$（$A$为方阵）有非零解，则$\vert A\vert\neq 0$”：
    • 根据齐次线性方程组解的判定定理，若齐次线性方程组$AX = 0$有非零解，那么矩阵$A$是奇异矩阵。
    • 而奇异矩阵的行列式为$0$，即$\vert A\vert = 0$，并非$\vert A\vert\neq 0$，所以该陈述错误。
  2. 对于陈述“设$C = AB$，则$R(C)\geq\min(R(A),R(B))$”：
    • 矩阵乘积的秩具有性质：矩阵乘积的秩不超过任一因子矩阵的秩。
    • 即$R(C)\leq R(A)$且$R(C)\leq R(B)$，所以$R(C)\leq\min(R(A),R(B))$，而不是$R(C)\geq\min(R(A),R(B))$，该陈述错误。
  3. 对于陈述“若$n$阶方阵$A$可逆，则$A^{-1}$也可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$”：
    • 若$A$可逆，则存在$A^{-1}$使得$AA^{-1}=A^{-1}A = E$（$E$为单位矩阵）。
    • 对于$A^{-1}$，同样存在$A$使得$A^{-1}A = AA^{-1}=E$，所以$A^{-1}$可逆，且$(A^{-1})^{-1}=A$，这是可逆矩阵的基本性质，该陈述正确。
  4. 对于陈述“对称矩阵$A$正定当且仅当$A$的特征值全为正”：
    • 根据对称矩阵正定的定义，对称矩阵$A$正定的充要条件就是其所有特征值均为正，所以该陈述正确。
  5. 对于陈述“任意的实对称矩阵$A$都与对角矩阵相似”：
    • 由谱定理可知，每个实对称矩阵都存在正交矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = P^{T}AP=\Lambda$（$\Lambda$为对角矩阵，其对角线元素是$A$的特征值），即任意实对称矩阵$A$都与对角矩阵相似，该陈述正确。