2.假设f(x)在[0,1 ]上导数连续, f(1)=0 .|f'(x)|leqslant 1 ,证明: |(int )_(0)^1f(x)ds|leqslant dfrac (1)(2)

考查要点：本题主要考查利用分部积分法结合导数的性质来估计定积分的绝对值。关键在于如何将原积分转化为与已知条件$f'(x)$相关联的形式，并利用已知条件$|f'(x)| \leq 1$进行放缩。

解题核心思路：通过分部积分将原积分$\int_{0}^{1} f(x)dx$转化为关于$f'(x)$的积分，再结合$f(1)=0$的条件简化表达式，最后利用$|f'(x)| \leq 1$对积分进行估计。

破题关键点：

1. 分部积分法的选择：合理选择$u$和$dv$，使得积分形式简化。
2. 利用$f(1)=0$：在分部积分后，边界项会消失，简化计算。
3. 放缩技巧：通过绝对值不等式和积分的线性性，将积分绝对值转化为可计算的形式。

步骤1：分部积分法应用

设$u = f(x)$，$dv = dx$，则$du = f'(x)dx$，$v = x$。根据分部积分公式：
$\int_{0}^{1} f(x)dx = \left. x f(x) \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x f'(x)dx.$

步骤2：代入边界条件$f(1)=0$

当$x=1$时，$f(1)=0$，因此：
$\left. x f(x) \right|_{0}^{1} = 1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0) = 0.$
于是原积分化简为：
$\int_{0}^{1} f(x)dx = -\int_{0}^{1} x f'(x)dx.$

步骤3：估计积分的绝对值

对两边取绝对值：
$\left| \int_{0}^{1} f(x)dx \right| = \left| -\int_{0}^{1} x f'(x)dx \right| = \left| \int_{0}^{1} x f'(x)dx \right|.$
利用绝对值不等式$\left| \int a(x)dx \right| \leq \int |a(x)|dx$，得：
$\left| \int_{0}^{1} x f'(x)dx \right| \leq \int_{0}^{1} |x f'(x)|dx.$

步骤4：应用已知条件$|f'(x)| \leq 1$

由于$|f'(x)| \leq 1$，可得：
$\int_{0}^{1} |x f'(x)|dx \leq \int_{0}^{1} x \cdot 1 \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2}x^{2} \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.$

结论：综合以上步骤，得：
$\left| \int_{0}^{1} f(x)dx \right| \leq \frac{1}{2}.$