级数 sum_(n=0)^infty (x^n)/(n+1) (-1 leq x A. } -ln(1-x), & x neq 0 1, & x = 0

考查要点：本题主要考查幂级数的求和方法，特别是通过逐项积分几何级数来求解特定形式的级数和函数。

解题核心思路：

1. 关联几何级数：已知几何级数$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x| < 1$），通过逐项积分将其转化为与题目级数相关的形式。
2. 积分操作：对几何级数逐项积分，得到与题目级数$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$的关系式。
3. 分段讨论：处理$x=0$时的特殊情况，直接代入计算首项值。

破题关键点：

• 逐项积分的合法性：在收敛区间内，几何级数的逐项积分结果有效。
• 代数变形：通过积分结果建立方程，解出和函数表达式。
• 分段函数的定义：注意$x=0$时级数的首项单独计算。

步骤1：关联几何级数与逐项积分

已知几何级数：
$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \quad (|x| < 1).$
对两边从$0$到$x$逐项积分：
$\int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} t^n \, dt = \int_0^x \frac{1}{1-t} \, dt.$
左边逐项积分得：
$\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x t^n \, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1} = x S(x),$
其中$S(x)$为题目级数的和函数。右边积分结果为：
$-\ln(1-x).$

步骤2：解方程求和函数

由上述等式得：
$x S(x) = -\ln(1-x) \quad \Rightarrow \quad S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x} \quad (x \neq 0).$

步骤3：处理$x=0$的情况

当$x=0$时，原级数首项为$\frac{0^0}{0+1} = 1$，其余项均为$0$，故：
$S(0) = 1.$

最终和函数

综合上述结果，和函数为：
$S(x) = \begin{cases} -\dfrac{\ln(1-x)}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x = 0.\end{cases}$