题目

设D:0≤x≤1,0≤y≤2,计算二重积分iintlimits_(D) | y-2x | dxdy.

设D:0≤x≤1,0≤y≤2,计算二重积分$\iint\limits_{D}\left | y-2x\right | $dxdy.

题目解答

答案

将区域 $D$ 分为两部分： 1. $0 \leq y \leq 2x$，此时 $|y-2x| = 2x - y$； 2. $2x \leq y \leq 2$，此时 $|y-2x| = y - 2x$。 计算第一部分： \[ \int_0^1 \int_0^{2x} (2x - y) \, dy \, dx = \int_0^1 \left[ 2xy - \frac{y^2}{2} \right]_0^{2x} \, dx = \int_0^1 2x^2 \, dx = \frac{2}{3}. \] 计算第二部分： \[ \int_0^1 \int_{2x}^2 (y - 2x) \, dy \, dx = \int_0^1 \left[ \frac{y^2}{2} - 2xy \right]_{2x}^2 \, dx = \int_0^1 (2 - 4x + 2x^2) \, dx = \frac{2}{3}. \] 两部分相加得： \[ \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}. \] **答案：** $\boxed{\frac{4}{3}}$

解析

本题考察二重积分中含绝对值函数的积分计算，关键是通过划分积分区域去掉绝对值，再分别计算积分。

步骤1：分析绝对值内函数的符号，划分区域

被积函数为 $|y - 2x|$，需根据 $y - 2x$ 的正负划分区域 $D$（$0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 2$）：

  • 当 $y \leq 2x$ 时，$|y - 2x| = 2x - y$；
  • 当 $y \geq 2x$ 时，$|y - 2x| = y - 2x$。

直线 $y = 2x$ 从原点 $(0,0)$ 到 $(1,2)$，将 $D$ 分为两部分：

  1. $D_1$：$0 \leq x \leq 1$, $0 \leq y \leq 2x$；
  2. $D_2$：$0 \leq x \leq 1$, $2x \leq y \leq 2$。

步骤2：计算 $D_1$ 上的积分

$\iint_{D_1} (2x - y) \, dxdy = \int_0^1 \int_0^{2x} (2x - y) \, dy dx$
先对 $y$ 积分：
$\int_0^{2x} (2x - y) dy = \left[ 2xy - \frac{y^2}{2} \right]_0^{2x} = 2x(2x) - \frac{(2x)^2}{2} = 4x^2 - 2x^2 = 2x^2$
再对 $x$ 积分：
$\int_0^1 2x^2 dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$

步骤3：计算 $D_2$ 上的积分

$\iint_{D_2} (y - 2x) \, dxdy = \int_0^1 \int_{2x}^2 (y - 2x) \, dy dx$
先对 $y$ 积分：
$\int_{2x}^2 (y - 2x) dy = \left[ \frac{y^2}{2} - 2xy \right]_{2x}^2 = \left( \frac{4}{2} - 4x \right) - \left( \frac{(2x)^2}{2} - 4x^2 \right) = (2 - 4x) - (2x^2 - 4x^2) = 2 - 4x + 2x^2$
再对 $x$ 积分：
$\int_0^1 (2 - 4x + 2x^2) dx = \left[ 2x - 2x^2 + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = 2 - 2 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

步骤4：求和得最终结果

$\iint_D |y - 2x| dxdy = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$