设函数 f(x)= ^beta ),xgt 0 0,xleqslant 0 . (α>0,β>0).若f`(x)在 x=0 处连续,则-|||-(A) alpha -beta gt 1. (B) lt alpha -beta leqslant 1.-|||-(C) alpha -beta gt 2. (D) lt alpha -beta leqslant 2.

考查要点：本题主要考查分段函数在分界点处导数的连续性，涉及导数的定义、极限的计算以及函数在不同区域的导数表达式。

解题核心思路：

1. 导数连续的条件：导数在分界点处连续需满足左右导数存在且相等，且导函数在该点的左右极限等于导数值。
2. 分段处理：分别计算$x>0$和$x<0$时的导数表达式，再分析$x=0$处的导数是否存在及连续性。
3. 极限分析：通过分析导数表达式中各项的极限，确定参数$\alpha$和$\beta$的关系。

破题关键点：

• 导数在$x=0$处的存在性：需保证$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x}$存在，即$\alpha >1$。
• 导数连续性条件：需保证$x \to 0^+$时，导数表达式中的第二项$\beta x^{\alpha - \beta -1} \sin \frac{1}{x^\beta}$的极限为0，即$\alpha - \beta >1$。

导数在$x=0$处的存在性

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^+} x^{\alpha-1} \cos \frac{1}{x^\beta}.$

• 当$\alpha >1$时，$x^{\alpha-1} \to 0$，$\cos \frac{1}{x^\beta}$有界，故极限为0，即$f'(0)=0$。
• 当$\alpha \leq 1$时，极限不存在。

因此，$f'(0)$存在当且仅当$\alpha >1$。

导数连续性分析

当$x>0$时，导数为：
$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1} \cos \frac{1}{x^\beta} + \beta x^{\alpha - \beta -1} \sin \frac{1}{x^\beta}.$
需保证$\lim_{x \to 0^+} f'(x) = f'(0) = 0$。

分析第一项$\alpha x^{\alpha-1} \cos \frac{1}{x^\beta}$

• 当$\alpha >1$时，$x^{\alpha-1} \to 0$，$\cos \frac{1}{x^\beta}$有界，故极限为0。

分析第二项$\beta x^{\alpha - \beta -1} \sin \frac{1}{x^\beta}$

• 当$\alpha - \beta -1 >0$（即$\alpha - \beta >1$）时，$x^{\alpha - \beta -1} \to 0$，$\sin \frac{1}{x^\beta}$有界，极限为0。
• 当$\alpha - \beta -1 \leq 0$时，极限不存在。

因此，$f'(x)$在$x=0$处连续当且仅当$\alpha - \beta >1$。