题目
9. (10.0分) 设 X sim U(a,b) ，则对任意的 x_(1),x_(2) in R(x_(1) < x_(2)) ，有Px_{1) < X < x_(2)} = F(x_(2))-F(x_(1))= (x_(2)-x_(1))/(b-a).A 对B 错
9. (10.0分) 设 $X \sim U(a,b)$ ，则对任意的 $x_{1},x_{2} \in R(x_{1} < x_{2})$ ，有
$P\{x_{1} < X < x_{2}\} = F(x_{2})-F(x_{1})= \frac{x_{2}-x_{1}}{b-a}.$
A 对
B 错
题目解答
答案
为了确定给定的陈述是否正确，我们需要分析均匀分布的性质以及均匀分布随机变量的累积分布函数（CDF）。
随机变量 $X$ 服从区间 $[a, b]$ 上的均匀分布，记作 $X \sim U(a, b)$，其概率密度函数（PDF）为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{b-a} & \text{对于 } a \leq x \leq b, \\
0 & \text{其他情况}.
\end{cases} \]
均匀分布的累积分布函数（CDF） $F(x)$ 定义为：
\[ F(x) = \begin{cases}
0 & \text{对于 } x < a, \\
\frac{x-a}{b-a} & \text{对于 } a \leq x \leq b, \\
1 & \text{对于 } x > b.
\end{cases} \]
我们需要找到概率 $P\{x_1 < X < x_2\}$ 对于任意的 $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ 且 $x_1 < x_2$。这个概率可以表示为 CDF 的差：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = F(x_2) - F(x_1). \]
让我们考虑 $x_1$ 和 $x_2$ 的不同情况：
1. 如果 $x_1 < a$ 且 $x_2 < a$，那么 $F(x_1) = 0$ 且 $F(x_2) = 0$，所以：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = 0 - 0 = 0. \]
这是正确的，因为 $X$ 在区间 $[a, b]$ 之外取值的概率为零。
2. 如果 $x_1 < a$ 且 $a \leq x_2 \leq b$，那么 $F(x_1) = 0$ 且 $F(x_2) = \frac{x_2 - a}{b - a}$，所以：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = \frac{x_2 - a}{b - a} - 0 = \frac{x_2 - a}{b - a}. \]
这是正确的，但不等于 $\frac{x_2 - x_1}{b - a}$。
3. 如果 $x_1 < a$ 且 $x_2 > b$，那么 $F(x_1) = 0$ 且 $F(x_2) = 1$，所以：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = 1 - 0 = 1. \]
这是正确的，因为 $X$ 在区间 $[a, b]$ 内取值的概率为1。
4. 如果 $a \leq x_1 \leq b$ 且 $a \leq x_2 \leq b$，那么 $F(x_1) = \frac{x_1 - a}{b - a}$ 且 $F(x_2) = \frac{x_2 - a}{b - a}$，所以：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = \frac{x_2 - a}{b - a} - \frac{x_1 - a}{b - a} = \frac{x_2 - x_1}{b - a}. \]
这是正确的。
5. 如果 $a \leq x_1 \leq b$ 且 $x_2 > b$，那么 $F(x_1) = \frac{x_1 - a}{b - a}$ 且 $F(x_2) = 1$，所以：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = 1 - \frac{x_1 - a}{b - a} = \frac{b - x_1}{b - a}. \]
这是正确的，但不等于 $\frac{x_2 - x_1}{b - a}$。
6. 如果 $x_1 > b$ 且 $x_2 > b$，那么 $F(x_1) = 1$ 且 $F(x_2) = 1$，所以：
\[ P\{x_1 < X < x_2\} = 1 - 1 = 0. \]
这是正确的，因为 $X$ 在区间 $[a, b]$ 之外取值的概率为零。
从上述情况中，我们看到 $P\{x_1 < X < x_2\} = \frac{x_2 - x_1}{b - a}$ 仅在 $a \leq x_1 \leq b$ 和 $a \leq x_2 \leq b$ 时成立。在其他情况下，这个等式不成立。
因此，给定的陈述是错误的。正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查均匀分布的概率计算及其累积分布函数（CDF）的应用，重点在于理解均匀分布的概率密度函数（PDF）和CDF的定义，以及如何正确计算任意区间上的概率。
解题核心思路：
- 明确均匀分布的性质：均匀分布$U(a,b)$的PDF在区间$[a,b]$内为常数$\frac{1}{b-a}$，CDF为分段线性函数。
- 概率计算的本质：概率$P\{x_1 < X < x_2\}$等于CDF在$x_2$和$x_1$处的差值，但需注意$x_1$和$x_2$是否落在区间$[a,b]$内。
- 分类讨论：根据$x_1$和$x_2$的位置（是否在$[a,b]$内），分析等式$F(x_2)-F(x_1)=\frac{x_2-x_1}{b-a}$是否成立。
破题关键点：
- 均匀分布的CDF特性：当$x_1$或$x_2$超出区间$[a,b]$时，CDF的差值可能不等于$\frac{x_2-x_1}{b-a}$。
- 反例的存在性：只需找到一个反例即可证明原命题错误。
均匀分布的CDF与概率计算
设$X \sim U(a,b)$，其CDF为：
$F(x) =
\begin{cases}0 & x < a, \\\frac{x-a}{b-a} & a \leq x \leq b, \\1 & x > b.\end{cases}$
概率$P\{x_1 < X < x_2\}$的计算公式为：
$P\{x_1 < X < x_2\} = F(x_2) - F(x_1).$
情况分析
-
当$x_1 < a$且$x_2 \leq b$时：
- $F(x_1) = 0$，$F(x_2) = \frac{x_2 - a}{b - a}$，
- 概率为$\frac{x_2 - a}{b - a}$，但题目中等式右侧为$\frac{x_2 - x_1}{b - a}$。
- 若$x_1 < a$，则$x_2 - x_1 > x_2 - a$，等式不成立。
-
当$x_1 \geq a$且$x_2 > b$时：
- $F(x_1) = \frac{x_1 - a}{b - a}$，$F(x_2) = 1$，
- 概率为$\frac{b - x_1}{b - a}$，但题目中等式右侧为$\frac{x_2 - x_1}{b - a}$。
- 若$x_2 > b$，则$x_2 - x_1 > b - x_1$，等式不成立。
-
当$x_1 < a$且$x_2 > b$时：
- $F(x_1) = 0$，$F(x_2) = 1$，概率为$1$，但题目中等式右侧为$\frac{x_2 - x_1}{b - a}$。
- 若$x_2 - x_1 > b - a$，等式不成立。
结论：只有当$x_1$和$x_2$均在区间$[a,b]$内时，等式成立。题目中“对任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$”的表述不成立，因此原命题错误。