(7)设 =1+x(e)^y, 则 dy= __ .

考查要点：本题主要考查隐函数求导法的应用，涉及对含有两个变量的方程进行求导，并通过代数变形解出微分$dy$。

解题核心思路：

1. 对等式两边同时关于$x$求导，注意$y$是$x$的函数，需使用链式法则。
2. 整理含有$\frac{dy}{dx}$的项，将其余项移到等式另一边。
3. 解出$\frac{dy}{dx}$，并改写为微分形式$dy = \frac{dy}{dx}dx$。

破题关键点：

• 正确应用乘积法则和链式法则对$x e^y$项求导。
• 代数变形时注意符号处理，避免因式分解错误。

步骤1：对等式两边关于$x$求导
原方程：
$xy = 1 + x e^y$
对两边求导：

• 左边：$\frac{d}{dx}(xy) = y + x \frac{dy}{dx}$（乘积法则）。
• 右边：$\frac{d}{dx}(1 + x e^y) = 0 + e^y \cdot \frac{dy}{dx} \cdot x + e^y \cdot 1$（乘积法则和链式法则）。

整理得：
$y + x \frac{dy}{dx} = e^y + x e^y \frac{dy}{dx}$

步骤2：整理含$\frac{dy}{dx}$的项
将含$\frac{dy}{dx}$的项移到左边，其余项移到右边：
$x \frac{dy}{dx} - x e^y \frac{dy}{dx} = e^y - y$
提取公因子$\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx} (x - x e^y) = e^y - y$

步骤3：解出$\frac{dy}{dx}$并改写为微分形式
两边除以$(x - x e^y)$：
$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y - y}{x - x e^y}$
因此，微分$dy$为：
$dy = \frac{e^y - y}{x - x e^y} dx$