4、关于微分方程 dfrac (dy)(dx)=yln dfrac (y)(x), 以下说法正确的是-|||-A.通解为 ln dfrac (y)(x)=Cx+1 B.是齐次微分方程-|||-C.是一阶微分方程 D.是非齐次微分方程

步骤 1：判断微分方程的类型
微分方程 $x\dfrac {dy}{dx}=y\ln \dfrac {y}{x}$ 可以写成 $\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {y}{x}\ln \dfrac {y}{x}$，这是一个一阶微分方程，因为只涉及一阶导数。同时，它也可以写成 $\dfrac {dy}{dx}=g(\dfrac {y}{x})$ 的形式，其中 $g(\dfrac {y}{x})=\dfrac {y}{x}\ln \dfrac {y}{x}$，所以它是一个齐次微分方程。

步骤 2：求解微分方程
设 $u=\dfrac {y}{x}$，则 $y=ux$，对 $x$ 求导得到 $\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$。将 $y=ux$ 和 $\dfrac {dy}{dx}=u+x\dfrac {du}{dx}$ 代入原方程，得到 $u+x\dfrac {du}{dx}=u\ln u$，即 $x\dfrac {du}{dx}=u\ln u-u$。分离变量得到 $\dfrac {du}{u\ln u-u}=\dfrac {dx}{x}$。对两边积分，得到 $\int \dfrac {du}{u\ln u-u}=\int \dfrac {dx}{x}$。令 $v=\ln u$，则 $dv=\dfrac {du}{u}$，代入积分得到 $\int \dfrac {dv}{v-1}=\int \dfrac {dx}{x}$。积分得到 $\ln |v-1|=\ln |x|+C$，即 $\ln |\ln u-1|=\ln |x|+C$。代回 $u=\dfrac {y}{x}$，得到 $\ln |\ln \dfrac {y}{x}-1|=\ln |x|+C$，即 $\ln \dfrac {y}{x}-1=Cx$，整理得到 $\ln \dfrac {y}{x}=Cx+1$。

步骤 3：判断选项
A. 通解为 $\ln \dfrac {y}{x}=Cx+1$，正确。
B. 是齐次微分方程，正确。
C. 是一阶微分方程，正确。
D. 是非齐次微分方程，错误。