题目

5.求方程 2xdy - ydx = 2y²dy 的通解.

题目解答

答案

将原方程 $2x \, dy - y \, dx = 2y^2 \, dy$ 重写为 $\frac{dx}{dy} = \frac{2x}{y} - 2y$。
此为一阶线性微分方程，积分因子为 $\mu(y) = e^{\int -\frac{2}{y} \, dy} = \frac{1}{y^2}$。
两边乘以积分因子得：
$\frac{d}{dy} \left( \frac{x}{y^2} \right) = -\frac{2}{y}$
积分得：
$\frac{x}{y^2} = -2 \ln |y| + C$
解得通解：
$x = y^2 (C - 2 \ln |y|)$
或等价表示：
$x = Cy^2 - 2y^2 \ln |y|$

答案：
$\boxed{x = y^2 (C - 2 \ln |y|)}$（或$\boxed{x = Cy^2 - 2y^2 \ln |y|}$）

解析

本题考查一阶线性微分方程的求解。解题思路是先将给定的微分方程化为一阶线性微分方程的标准形式，然后求出积分因子，利用积分因子将方程化为全微分方程，最后通过积分求出通解。

将原方程化为一阶线性微分方程的标准形式：
已知原方程$2xdy - ydx = 2y^{2}dy$，移项可得$-ydx=(2y^{2}-2x)dy$，两边同时除以$-ydy$（$y\neq0$），得到$\frac{dx}{dy}=\frac{2x}{y}-2y$，此方程为一阶线性微分方程，其标准形式为$\frac{dx}{dy}+P(y)x = Q(y)$，其中$P(y)=-\frac{2}{y}$，$Q(y)= - 2y$。
求积分因子：
根据积分因子公式$\mu(y)=e^{\int P(y)dy}$，将$P(y)=-\frac{2}{y}$代入可得：
$\mu(y)=e^{\int -\frac{2}{y}dy}$
根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y|+C$，则$\int -\frac{2}{y}dy=-2\int\frac{1}{y}dy=-2\ln|y|=\ln|y^{-2}|$，所以$\mu(y)=e^{\ln|y^{-2}|}=\frac{1}{y^{2}}$。
将方程两边乘以积分因子：
将$\frac{dx}{dy}=\frac{2x}{y}-2y$两边同时乘以积分因子$\frac{1}{y^{2}}$，得到$\frac{1}{y^{2}}\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y^{3}}x=-\frac{2}{y}$。
根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，令$u = x$，$v=\frac{1}{y^{2}}$，则$\frac{d}{dy}(\frac{x}{y^{2}})=\frac{1}{y^{2}}\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y^{3}}x$，所以$\frac{d}{dy}(\frac{x}{y^{2}})=-\frac{2}{y}$。
对等式两边进行积分：
对$\frac{d}{dy}(\frac{x}{y^{2}})=-\frac{2}{y}$两边同时积分，可得$\int\frac{d}{dy}(\frac{x}{y^{2}})dy=\int-\frac{2}{y}dy$。
根据积分的基本性质$\int\frac{d}{dy}(f(y))dy=f(y)+C$，则$\frac{x}{y^{2}}=\int-\frac{2}{y}dy$。
再根据积分公式$\int\frac{1}{y}dy=\ln|y|+C$，可得$\int-\frac{2}{y}dy=-2\int\frac{1}{y}dy=-2\ln|y|+C$，所以$\frac{x}{y^{2}}=-2\ln|y|+C$。
求解通解：
将$\frac{x}{y^{2}}=-2\ln|y|+C$两边同时乘以$y^{2}$，得到$x = y^{2}(C - 2\ln|y|)$，也可展开表示为$x = Cy^{2}-2y^{2}\ln|y|$。