直线 {x+y+3z=0, x-y-z=0. 与平面 x-y-z+1=0 的位置关系是()A. 直线在平面上B. 平行但直线不在平面上C. 直线垂直于平面D. 直线与平面相交但不垂直

步骤 1：确定直线的方向向量
直线的方向向量可以通过两个平面的法向量的叉积得到。给定的两个平面方程为：
\[ x + y + 3z = 0 \]
\[ x - y - z = 0 \]
这两个平面的法向量分别为：
\[ \mathbf{n_1} = (1, 1, 3) \]
\[ \mathbf{n_2} = (1, -1, -1) \]
直线的方向向量为：
\[ \mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-1))\mathbf{i} - (1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1)\mathbf{j} + (1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)\mathbf{k} = (2, 4, -2) \]

步骤 2：确定平面的法向量
平面 $x - y - z + 1 = 0$ 的法向量为：
\[ \mathbf{n} = (1, -1, -1) \]

步骤 3：计算直线方向向量与平面法向量的点积
计算点积：
\[ \mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = (2, 4, -2) \cdot (1, -1, -1) = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = 2 - 4 + 2 = 0 \]
点积为零，说明直线与平面平行。

步骤 4：验证直线是否在平面上
取直线上的点 $(0, 0, 0)$，代入平面方程 $x - y - z + 1 = 0$，得：
\[ 0 - 0 - 0 + 1 = 1 \neq 0 \]
因此，点 $(0, 0, 0)$ 不在平面上，直线与平面平行但直线不在平面上。