题目
设 A 为 n 阶非零方阵，且 A neq E，A^2 = A (E 为 n 阶单位矩阵），则（）A. A 的秩为 nB. A 的秩为 0C. A 的秩小于 n，但不为 0D. A 的秩大于 n
设 $A$ 为 $n$ 阶非零方阵，且 $A \neq E$，$A^2 = A$ ($E$ 为 $n$ 阶单位矩阵），则（）
A. $A$ 的秩为 $n$
B. $A$ 的秩为 $0$
C. $A$ 的秩小于 $n$，但不为 $0$
D. $A$ 的秩大于 $n$
题目解答
答案
C. $A$ 的秩小于 $n$，但不为 $0$
解析
步骤 1：理解幂等矩阵
一个矩阵 $A$ 是幂等的，如果 $A^2 = A$。这意味着 $A$ 乘以自己等于 $A$ 本身。这个性质可以重写为：\[ A^2 - A = 0 \implies A(A - E) = 0 \] 其中 $E$ 是单位矩阵。这个等式告诉我们 $A$ 和 $A - E$ 的乘积为零矩阵，意味着它们至少有一个是奇异矩阵（即行列式为零）。
步骤 2：分析 $A$ 的秩
对于幂等矩阵 $A$，其特征值要么是0，要么是1。由于 $A \neq 0$ 和 $A \neq E$，$A$ 的特征值不能全为1或全为0。因此，$A$ 的秩必须小于 $n$ 但不为0。这是因为如果 $A$ 的秩是 $n$，那么 $A$ 将是可逆的，且 $A = E$，这与题目条件矛盾。同样，如果 $A$ 的秩为0，那么 $A$ 将是零矩阵，这与题目条件 $A$ 是非零矩阵矛盾。
步骤 3：得出结论
综上所述，$A$ 的秩必须小于 $n$ 但不为0。因此，正确答案是选项 C。
一个矩阵 $A$ 是幂等的，如果 $A^2 = A$。这意味着 $A$ 乘以自己等于 $A$ 本身。这个性质可以重写为：\[ A^2 - A = 0 \implies A(A - E) = 0 \] 其中 $E$ 是单位矩阵。这个等式告诉我们 $A$ 和 $A - E$ 的乘积为零矩阵，意味着它们至少有一个是奇异矩阵（即行列式为零）。
步骤 2：分析 $A$ 的秩
对于幂等矩阵 $A$，其特征值要么是0，要么是1。由于 $A \neq 0$ 和 $A \neq E$，$A$ 的特征值不能全为1或全为0。因此，$A$ 的秩必须小于 $n$ 但不为0。这是因为如果 $A$ 的秩是 $n$，那么 $A$ 将是可逆的，且 $A = E$，这与题目条件矛盾。同样，如果 $A$ 的秩为0，那么 $A$ 将是零矩阵，这与题目条件 $A$ 是非零矩阵矛盾。
步骤 3：得出结论
综上所述，$A$ 的秩必须小于 $n$ 但不为0。因此，正确答案是选项 C。