曲面 =(x)^2+(y)^2+1 在点 M(1,-1,3) 的切平面与曲面 =(x)^2+(y)^2 所围区域的体-|||-积为 __

考查要点：本题主要考查曲面在某点的切平面方程求解、空间区域的投影确定以及利用二重积分计算体积的方法。

解题思路：

1. 求切平面方程：利用曲面的梯度向量求切平面方程，需计算偏导数并代入点坐标。
2. 确定投影区域：联立切平面与曲面方程，通过配方得到投影区域的几何形状。
3. 体积积分：将体积转化为二重积分，通过变量代换和极坐标简化计算。

关键点：

• 梯度向量的计算：正确求出曲面在给定点的梯度向量。
• 投影区域的确定：联立方程后配方得到圆的方程。
• 积分变量代换：通过平移和极坐标变换简化积分过程。

1. 求切平面方程

曲面 $z = x^2 + y^2 + 1$ 可改写为 $F(x, y, z) = x^2 + y^2 + 1 - z = 0$。
计算梯度向量 $\nabla F = (2x, 2y, -1)$，在点 $M(1, -1, 3)$ 处为 $(2, -2, -1)$。
切平面方程为：
$2(x-1) - 2(y+1) - (z-3) = 0 \implies z = 2x - 2y - 1.$

2. 确定投影区域 $D$

联立 $\begin{cases} z = x^2 + y^2 \\ z = 2x - 2y - 1 \end{cases}$，消去 $z$ 得：
$x^2 + y^2 = 2x - 2y - 1.$
配方整理得：
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = 1.$
投影区域 $D$ 是以 $(1, -1)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆。

3. 计算体积

体积公式为：
$V = \iint_D \left[ (2x - 2y - 1) - (x^2 + y^2) \right] \, d\sigma.$
通过变量代换 $x-1 = r\cos\theta$，$y+1 = r\sin\theta$，积分区域变为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，且 $d\sigma = r \, dr \, d\theta$。
被积函数化简为 $1 - r^2$，积分计算为：
$V = \int_0^{2\pi} \int_0^1 (1 - r^2) r \, dr \, d\theta = \frac{\pi}{2}.$