题目
求下列极限:-|||-lim _(xarrow a)dfrac ({x)^m-(a)^m}({x)^n-(a)^n}(aneq 0)
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用极限的定义
我们首先观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{x}^{m}-{a}^{m}}{{x}^{n}-{a}^{n}}$。当 $x$ 趋近于 $a$ 时，分子和分母都趋近于零，因此这是一个不定型的极限，需要进一步处理。
步骤 2：使用多项式因式分解
为了处理这个不定型的极限，我们可以使用多项式的因式分解。对于任意的 $x$ 和 $a$，有 ${x}^{m}-{a}^{m}=(x-a)({x}^{m-1}+{x}^{m-2}a+\cdots+xa^{m-2}+{a}^{m-1})$ 和 ${x}^{n}-{a}^{n}=(x-a)({x}^{n-1}+{x}^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+{a}^{n-1})$。因此，原极限可以写为 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {(x-a)({x}^{m-1}+{x}^{m-2}a+\cdots+xa^{m-2}+{a}^{m-1})}{(x-a)({x}^{n-1}+{x}^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+{a}^{n-1})}$。
步骤 3：简化表达式并求极限
由于 $x\neq a$，我们可以消去分子和分母中的 $(x-a)$，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{x}^{m-1}+{x}^{m-2}a+\cdots+xa^{m-2}+{a}^{m-1}}{{x}^{n-1}+{x}^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+{a}^{n-1}}$。当 $x$ 趋近于 $a$ 时，分子和分母中的每一项都趋近于 $a$ 的相应幂次，因此极限值为 $\dfrac {m{a}^{m-1}}{n{a}^{n-1}}=\dfrac {m}{n}{a}^{m-n}$。
我们首先观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{x}^{m}-{a}^{m}}{{x}^{n}-{a}^{n}}$。当 $x$ 趋近于 $a$ 时，分子和分母都趋近于零，因此这是一个不定型的极限，需要进一步处理。
步骤 2：使用多项式因式分解
为了处理这个不定型的极限，我们可以使用多项式的因式分解。对于任意的 $x$ 和 $a$，有 ${x}^{m}-{a}^{m}=(x-a)({x}^{m-1}+{x}^{m-2}a+\cdots+xa^{m-2}+{a}^{m-1})$ 和 ${x}^{n}-{a}^{n}=(x-a)({x}^{n-1}+{x}^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+{a}^{n-1})$。因此，原极限可以写为 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {(x-a)({x}^{m-1}+{x}^{m-2}a+\cdots+xa^{m-2}+{a}^{m-1})}{(x-a)({x}^{n-1}+{x}^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+{a}^{n-1})}$。
步骤 3：简化表达式并求极限
由于 $x\neq a$，我们可以消去分子和分母中的 $(x-a)$，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {{x}^{m-1}+{x}^{m-2}a+\cdots+xa^{m-2}+{a}^{m-1}}{{x}^{n-1}+{x}^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+{a}^{n-1}}$。当 $x$ 趋近于 $a$ 时，分子和分母中的每一项都趋近于 $a$ 的相应幂次，因此极限值为 $\dfrac {m{a}^{m-1}}{n{a}^{n-1}}=\dfrac {m}{n}{a}^{m-n}$。