曲线=dfrac ({x)^2+x}({x)^2-1}的渐近线的条数为 (A)0.(B)1.(c)2.(D)3.

考查要点：本题主要考查分式函数的渐近线求解，包括垂直渐近线和水平渐近线的判断。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：寻找分母为零且分子不为零的点。
2. 水平渐近线：比较分子分母的最高次数，若次数相同，则水平渐近线为系数之比；若分子次数低于分母，则水平渐近线为$y=0$。
3. 斜渐近线：若分子次数比分母高1，则存在斜渐近线，需通过多项式除法求解。

破题关键点：

• 分母因式分解：确定分母为零的点，分析是否为垂直渐近线。
• 约分简化：判断是否存在可去间断点，排除非渐近线情况。
• 极限分析：通过最高次项系数比确定水平渐近线。

垂直渐近线分析

1. 分母分解：$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，分母为零的点为$x=1$和$x=-1$。
2. 分子代入：
   • 当$x=1$时，分子$1^2 + 1 = 2 \neq 0$，故$x=1$是垂直渐近线。
   • 当$x=-1$时，分子$(-1)^2 + (-1) = 0$，此时分子分母均为零，需进一步分析：
     • 约分原式：$\frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{x-1}$（$x \neq -1$）。
     • $x=-1$处极限存在（$\lim_{x \to -1} \frac{x}{x-1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$），故此处为可去间断点，非垂直渐近线。

结论：垂直渐近线只有$x=1$。

水平渐近线分析

1. 分子分母最高次数：均为二次项，次数相等。
2. 系数比：最高次项系数比为$\frac{1}{1} = 1$。
3. 结论：水平渐近线为$y=1$。

斜渐近线分析

• 分子次数（2）与分母次数（2）相等，故不存在斜渐近线。

总渐近线条数：垂直渐近线1条，水平渐近线1条，共2条。