15.求Ln(-i)，Ln(-3+4i)和它们的主值.

复数对数函数的求解关键在于确定复数的模和辐角：

1. 模：计算复数的模长，即$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$（对于$z = a + bi$）。
2. 辐角：确定复数的辐角$\arg(z)$，需根据复数所在象限调整到主值范围$(-\pi, \pi]$或$[0, 2\pi)$。
3. 一般形式：$\text{Ln}(z) = \ln|z| + i(\arg(z) + 2k\pi)$，其中$k$为整数。
4. 主值：取$k=0$时的辐角，即$\text{Arg}(z)$，代入得主值$\ln|z| + i\text{Arg}(z)$。

1. 计算 $\text{Ln}(-i)$

模长计算

$|-i| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$。

辐角分析

复数$-i$位于虚轴负方向，主辐角为$\text{Arg}(-i) = -\frac{\pi}{2}$（或$\frac{3\pi}{2}$，但主值取$-\frac{\pi}{2}$）。

一般形式

$\text{Ln}(-i) = \ln(1) + i\left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi\right) = (2k - \frac{1}{2})\pi i$。

主值

取$k=0$，主值为$-\frac{\pi}{2}i$。

2. 计算 $\text{Ln}(-3 + 4i)$

模长计算

$|-3 + 4i| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5$。

辐角分析

复数$-3 + 4i$在第二象限，参考角为$\arctan\left(\frac{4}{3}\right)$，主辐角为$\text{Arg}(-3 + 4i) = \pi - \arctan\left(\frac{4}{3}\right)$。

一般形式

$\text{Ln}(-3 + 4i) = \ln(5) + i\left[\pi - \arctan\left(\frac{4}{3}\right) + 2k\pi\right]$，可整理为：
$\ln 5 + i\left[-\arctan\left(\frac{4}{3}\right) + (2k + 1)\pi\right].$

主值

取$k=0$，主值为$\ln 5 + i\left(\pi - \arctan\left(\frac{4}{3}\right)\right)$。