例1 求函数 =(e)^x+2y 的所有二阶偏导数和 dfrac ({a)^3z}(partial ypartial {x)^2}

考查要点：本题主要考查多元函数的高阶偏导数计算，特别是二阶偏导数和特定三阶偏导数的求解。需要掌握复合函数求导法则和混合偏导数的计算顺序。

解题核心思路：

1. 分步求导：先计算一阶偏导数，再逐次求二阶偏导数，最后处理三阶偏导数。
2. 注意变量区分：对某一变量求导时，其他变量视为常数。
3. 混合偏导数验证：利用Clairaut定理（若函数足够光滑，混合偏导数相等）简化计算。

破题关键点：

• 指数函数的导数特性：$e^{x+2y}$的导数仍保持原函数形式，仅系数可能变化。
• 求导顺序：三阶偏导数$\dfrac{\partial^3 z}{\partial y \partial x^2}$需先对$x$求两次导，再对$y$求导。

一阶偏导数

1. 对$x$求导：
   $\dfrac{\partial z}{\partial x} = e^{x+2y}$
2. 对$y$求导：
   $\dfrac{\partial z}{\partial y} = 2e^{x+2y}$

二阶偏导数

1. $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$：
   $\dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{x+2y} \right) = e^{x+2y}$
2. $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$：
   $\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{x+2y} \right) = 2e^{x+2y}$
3. $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}$：
   $\dfrac{\partial}{\partial x} \left( 2e^{x+2y} \right) = 2e^{x+2y}$
4. $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2}$：
   $\dfrac{\partial}{\partial y} \left( 2e^{x+2y} \right) = 4e^{x+2y}$

三阶偏导数 $\dfrac{\partial^3 z}{\partial y \partial x^2}$

1. 先求$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}$：
   $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = e^{x+2y}$
2. 再对$y$求导：
   $\dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{x+2y} \right) = 2e^{x+2y}$