求内接于半径为R的球且有最大体积的长方体。
求内接于半径为R的球且有最大体积的长方体。
题目解答
答案
设长方体的长宽高分别为
，
，
，
长方体内接于半径为R的球，
可得$$\sqrt{b^2+c^2+d^2}=2R$$，即$$b^2+c^2+d^2=4R^2$$
$$\frac{b^2+c^2+d^2}{3}\geqslant \root3\of{b^2c^2d^2}$$，当且仅当
时成立，
长方体的体积为$$V=bcd\leqslant (\frac{b^2+c^2+d^2}{3})^\frac{3}{2}$$$$=(\frac{4R^2}{3})^\frac{3}{2}$$$$=\frac{8\sqrt{3}}{9}R^3$$，当且仅当$$=\frac{2\sqrt{3}}{3}R$$时成立，
此长方体的长宽高都是$$ \frac{2\sqrt{3}}{3}R$$.
解析
考查要点：本题主要考查空间几何体的对角线性质、不等式（均值不等式）的应用以及优化问题的解决思路。
解题核心思路：
- 建立约束条件：长方体内接于球，其体对角线等于球的直径，即$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 2R$。
- 目标函数：体积$V = abc$的最大化。
- 关键方法：利用均值不等式（AM ≥ GM）将约束条件与目标函数结合，推导出最大值条件。
破题关键点：
- 对称性猜想：当长方体为立方体时，体积可能达到最大值。
- 不等式应用：通过均值不等式将$a^2 + b^2 + c^2$与$abc$关联，找到等号成立条件。
设长方体的长宽高分别为$a, b, c$，根据题意，其体对角线等于球的直径：
$\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = 2R \quad \Rightarrow \quad a^2 + b^2 + c^2 = 4R^2.$
应用均值不等式：
对$a^2, b^2, c^2$使用算术-几何均值不等式：
$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2}.$
将约束条件代入得：
$\frac{4R^2}{3} \geq \sqrt[3]{a^2 b^2 c^2} \quad \Rightarrow \quad \left( \frac{4R^2}{3} \right)^3 \geq a^2 b^2 c^2.$
取立方根并整理：
$abc \leq \left( \frac{4R^2}{3} \right)^{\frac{3}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{9} R^3.$
等号成立条件：
当且仅当$a^2 = b^2 = c^2$，即$a = b = c$时，长方体为立方体。此时边长为：
$a = b = c = \frac{2\sqrt{3}}{3} R.$