题目
17.填空题设随机变量的分布函数为F(x)=}0,x>2x-2)^2,2le xle 31,x>3则P(2.6le Xle 4)=____.
17.填空题
设随机变量的分布函数为
$F(x)=\begin{cases}0,x>2\$x-2)^{2},2\le x\le 3\\1,x>3\end{cases}$
则$P(2.6\le X\le 4)=$____.
题目解答
答案
为了求解 $ P(2.6 \le X \le 4) $，我们需要使用随机变量的分布函数 $ F(x) $。分布函数 $ F(x) $ 定义如下：
\[ F(x) = \begin{cases}
0 & \text{if } x < 2 \\
(x-2)^2 & \text{if } 2 \le x \le 3 \\
1 & \text{if } x > 3
\end{cases} \]
概率 $ P(2.6 \le X \le 4) $ 可以通过分布函数的性质来计算，具体来说， $ P(a \le X \le b) = F(b) - F(a) $。在这个问题中， $ a = 2.6 $ 和 $ b = 4 $。因此，我们有：
\[ P(2.6 \le X \le 4) = F(4) - F(2.6) \]
首先，我们找到 $ F(4) $。根据分布函数的定义，当 $ x > 3 $ 时， $ F(x) = 1 $。因此， $ F(4) = 1 $。
接下来，我们找到 $ F(2.6) $。根据分布函数的定义，当 $ 2 \le x \le 3 $ 时， $ F(x) = (x-2)^2 $。因此， $ F(2.6) = (2.6-2)^2 = 0.6^2 = 0.36 $。
现在，我们可以计算 $ P(2.6 \le X \le 4) $：
\[ P(2.6 \le X \le 4) = F(4) - F(2.6) = 1 - 0.36 = 0.64 \]
因此，答案是：
\[ \boxed{0.64} \]
解析
考查要点：本题主要考查分布函数的性质及其在计算概率中的应用，特别是如何利用分布函数求特定区间概率。
解题核心思路：
根据分布函数的定义，区间概率公式为 $P(a \le X \le b) = F(b) - F(a)$。需要明确分布函数在不同区间的表达式，代入计算即可。
破题关键点：
- 确定区间端点对应的分布函数值：
- 当 $x > 3$ 时，$F(x) = 1$，因此 $F(4) = 1$。
- 当 $2 \le x \le 3$ 时，$F(x) = (x-2)^2$，因此 $F(2.6) = (2.6-2)^2 = 0.36$。
- 代入公式计算：$P(2.6 \le X \le 4) = F(4) - F(2.6)$。
根据分布函数的定义，计算步骤如下：
步骤1：确定 $F(4)$
当 $x > 3$ 时，$F(x) = 1$，因此：
$F(4) = 1$
步骤2：确定 $F(2.6)$
当 $2 \le x \le 3$ 时，$F(x) = (x-2)^2$，代入 $x = 2.6$：
$F(2.6) = (2.6 - 2)^2 = 0.6^2 = 0.36$
步骤3：计算概率
根据区间概率公式：
$P(2.6 \le X \le 4) = F(4) - F(2.6) = 1 - 0.36 = 0.64$