题目

假定自动取款机对每位顾客的服务时间(单位：min)服从lambda =dfrac(1)(3)的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机，求：(1)你至少等候3min的概率；(2)你等候时间在3~6min的概率.

假定自动取款机对每位顾客的服务时间(单位：min)服从$\lambda =\dfrac{1}{3}$的指数分布.如果有一顾客恰好在你前面走到空闲的取款机，求：

(1)你至少等候3min的概率；

(2)你等候时间在3~6min的概率.

题目解答

答案

【答案】

(1)${e}^{-1}$;(2)${e}^{-1}-{e}^{-2}$.

【解析】

(1)由题目条件知等候时间的概率密度函数为$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}{e}^{-\frac{1}{3}x},x\geqslant 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x\lt 0\end{array}\right.$;

于是累积分布函数为$F\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }f\left(x\right)dx=\left\{\begin{array}{l}1-{e}^{-\frac{1}{3}x},x\geqslant 0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x\lt 0\end{array}\right.$;

所以至少等候3min的概率为:

$P\left(x\geqslant 3\right)=1-P\left(x\lt 3\right)=1-F\left(3\right)=1-\left(1-{e}^{-1}\right)={e}^{-1}$.

(2)等候时间在3~6min的概率为:

$P\left(3\leqslant x\leqslant 6\right)=P\left(x\leqslant 6\right)-P\left(x\lt 3\right)=F\left(6\right)-F\left(3\right)={e}^{-1}-{e}^{-2}$.

解析

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算，涉及累积分布函数（CDF）的应用，以及如何计算特定区间概率。

解题核心思路：

  1. 指数分布的无记忆性虽然重要，但本题未直接使用，而是通过CDF直接计算概率。
  2. 至少等候3分钟对应概率$P(X \geq 3)$，利用$1 - F(3)$计算。
  3. 等候时间在3~6分钟对应概率$P(3 \leq X \leq 6)$，通过$F(6) - F(3)$求解。

破题关键点：

  • 正确写出指数分布的CDF形式：$F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$（$x \geq 0$）。
  • 代入参数$\lambda = \dfrac{1}{3}$，并准确计算指数表达式。

第（1）题

目标：计算$P(X \geq 3)$。

  1. 指数分布的CDF：
    $F(x) = 1 - e^{-\frac{1}{3}x} \quad (x \geq 0)$

  2. 至少等候3分钟的概率：
    $P(X \geq 3) = 1 - F(3) = 1 - \left(1 - e^{-\frac{1}{3} \cdot 3}\right) = e^{-1}$

第（2）题

目标：计算$P(3 \leq X \leq 6)$。

  1. 利用CDF计算区间概率：
    $P(3 \leq X \leq 6) = F(6) - F(3)$

  2. 代入CDF表达式：
    $F(6) = 1 - e^{-\frac{1}{3} \cdot 6} = 1 - e^{-2}$
    $F(3) = 1 - e^{-1}$

  3. 求差值得结果：
    $P(3 \leq X \leq 6) = (1 - e^{-2}) - (1 - e^{-1}) = e^{-1} - e^{-2}$