求过点 (-1,0,4), 平行于平面 3x-4y+z=0 且与直线 +1=y-3=dfrac (z)(2) 相交的直线方程.

考查要点：本题主要考查空间直线与平面的位置关系、直线方程的求解，以及两直线相交的条件。

解题核心思路：

1. 方向向量与平面平行：所求直线的方向向量需与平面法向量垂直，即满足点积为零。
2. 两直线相交条件：通过参数法联立两直线方程，解出参数关系，确定方向向量。

破题关键点：

• 平面法向量：平面方程为$3x-4y+z=0$，法向量为$\vec{n}=(3,-4,1)$。
• 方向向量约束：所求直线方向向量$\vec{s}=(s_1,s_2,s_3)$需满足$3s_1 -4s_2 +s_3=0$。
• 联立方程求解：通过联立两直线方程，消去参数，解出方向向量。

步骤1：确定给定直线的方向向量

给定直线方程为$x+1=y-3=\dfrac{z}{2}$，其参数方程可写为：
$\begin{cases}x = -1 + t \\y = 3 + t \\z = 0 + 2t\end{cases}$
因此，方向向量为$\vec{v}=(1,1,2)$。

步骤2：设定所求直线的方向向量

设所求直线方向向量为$\vec{s}=(s_1,s_2,s_3)$，需满足：
$3s_1 -4s_2 +s_3 = 0 \quad \text{（与平面平行）}$

步骤3：联立方程求参数关系

所求直线过点$P(-1,0,4)$，参数方程为：
$\begin{cases}x = -1 + s_1 t \\y = 0 + s_2 t \\z = 4 + s_3 t\end{cases}$
给定直线上的点可表示为$(-1 + k, 3 + k, 2k)$。联立两直线方程：

1. $-1 + s_1 t = -1 + k \implies k = s_1 t$
2. $s_2 t = 3 + k \implies s_2 t = 3 + s_1 t \implies 3 = (s_2 - s_1) t$
3. $4 + s_3 t = 2k \implies 4 + s_3 t = 2s_1 t \implies t(2s_1 - s_3) = 4$

步骤4：解方程组确定方向向量

联立方程：
$\begin{cases}3s_1 -4s_2 +s_3 = 0 \\10s_1 -4s_2 -3s_3 = 0\end{cases}$
解得$s_2 = \dfrac{19}{16}s_1$，$s_3 = \dfrac{7}{4}s_1$。取$s_1=16$，得方向向量$\vec{s}=(16,19,28)$。