一平面过点(1, 0, -1)且平行于向量a=(2, 1, 1)和b=(1, -1, 0), 试求这平面方程.

考查要点：本题主要考查如何利用平面内的两个方向向量求平面方程，涉及向量叉乘求法向量以及点法式平面方程的应用。

解题核心思路：

1. 确定法向量：平面的法向量可通过两个方向向量的叉乘得到。
2. 代入点法式方程：利用已知点和平面法向量，代入点法式方程求解。

破题关键点：

• 叉乘计算：正确计算向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的叉乘，得到法向量。
• 方程展开：将点法式方程展开并整理为标准形式。

步骤1：求平面的法向量

平面平行于向量$\mathbf{a}=(2,1,1)$和$\mathbf{b}=(1,-1,0)$，因此法向量$\mathbf{n}$为两向量的叉乘：
$\mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\2 & 1 & 1 \\1 & -1 & 0\end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-3) = (1, 1, -3)$

步骤2：代入点法式方程

平面过点$(1, 0, -1)$，法向量为$(1,1,-3)$，点法式方程为：
$1(x-1) + 1(y-0) -3(z+1) = 0$
展开并整理：
$x - 1 + y - 3z - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x + y - 3z - 4 = 0$