题目

若z0是f(z)的一阶极点,则() ()-|||-A. [ f(z),(z)_(0)] =lim _(zarrow {x)_(0)}(z-(z)_(0))f(z)-|||-B. [ f(z),(z)_(0)] =lim _(zarrow 20)((z-{z)_(0))}^2f(z)-|||-C. [ f(z),(z)_(0)] =lim _(zarrow {z)_(0)}(z)_(0)f(z)-|||-D. in (f(z),(z)_(0)] =lim _(zarrow {x)_(0)}[ (z-(z)_(0))f(z)] '

$\begin{aligned} &\text{若}{z_{0}}\text{是}{f(z)}\text{的一阶极点,则(}) \\ &A.\operatorname{Re}s[f(z),z_{0}]=\operatorname*{lim}_{z\to z_{0}}(z-z_{0})f(z) \\ &B.\operatorname{Re}s[f(z),z_{0}] =\lim_{z\to z_{0}}\left(z-z_{0}\right)^{2}f(z) \\ &C.\operatorname{Re}s[f(z),z_{0}] =\lim_{z\to z_{0}}z_{0}f(z) \\ &D.\operatorname{Re}s[f(z),z_{0}] =\lim_{z\to z_{0}}[(z-z_{0})f(z)]^{\prime} \end{aligned}$

题目解答

答案

$\begin{aligned} &要确定哪个选项正确地表示了函数f(z)在一阶极点z_0 \\ &\text{处的残差,我们需要回顾复分析中残差的定义。} \\ &\text{函数 }f(z)\text{ 在 }z_0\text{ 处的残差,记作 Res}[f(z),z_0]\text{,是}\\&f(z)\text{ 在 }z\text{。附近的劳伦特级数屏开中 }(z-z_0)^{-1}\text{ 顶的}& \text{I} \\ &\text{系数。对于一阶极点,劳伦特级数展开的形式为:} \\ &f(z)=\frac{a_{-1}}{z-z_0}+a_0+a_1(z-z_0)+a_2(z-z_0)^2+ \\ &... \\ &\text{其中 }a_{-1}=\mathrm{Res}[f(z),z_{0}]。 \\ &\text{为了找到残差,我们可以使用以下公式:} \\ &\mathrm{Res}[f(z),z_0]=\operatorname*{lim}_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) \\ &\text{这个公式是从残差的定义和劳伦特级数展开推导出来} \\ &\text{的。当 }z\text{ 接近 }z_0\text{ 时,所有涉及 }(z-z_0)\text{ 的正幂项都将} \\ &\text{消失,只留下}\left(z-z_{0}\right)^{-1}\text{项,其系数就是残差。}\\&所以答案为:A \end{aligned}$

解析

步骤 1：理解一阶极点的定义
一阶极点是指函数f(z)在z0处的洛朗展开式中，$(z-z_0)^{-1}$项的系数不为零，而$(z-z_0)^{-n}$项（n>1）的系数为零。这意味着在z0处，f(z)的洛朗展开式可以写为：
$f(z) = \frac{a_{-1}}{z-z_0} + a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots$
其中$a_{-1}$是残差$Res[f(z), z_0]$。

步骤 2：计算残差
根据残差的定义，$Res[f(z), z_0]$是洛朗展开式中$(z-z_0)^{-1}$项的系数。因此，我们可以使用极限来计算残差：
$Res[f(z), z_0] = \lim_{z \to z_0} (z-z_0)f(z)$
这是因为当z接近z0时，$(z-z_0)f(z)$的极限就是$a_{-1}$，即残差。

步骤 3：验证其他选项
选项B和D涉及$(z-z_0)^2$和$(z-z_0)f(z)$的导数，这些都不符合残差的定义。选项C涉及$z_0f(z)$，这也不符合残差的定义，因为残差是关于$(z-z_0)$的系数。